[九年级数学]l辽宁省瓦房店市第八初级中学九年级下数学《28.1 锐角三角函数》教学设计4.doc

““锐角三角函数锐角三角函数””教材分析教材分析本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念） 以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容锐角三角函数为解直角 三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用， 这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会研究锐角三角函数的 直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角 函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的 直接基础 本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法锐角三角 函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键难点在于，锐角 三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数 之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sin A、cos A、tan A表 示函数等，学生过去没有接触过，所以对学生来讲有一定难度至于 关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角 三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形 一、教科书内容与课程学习目标一、教科书内容与课程学习目标 （一）本章知识结构框图本章知识的展开顺序如下所示：（二）教科书内容 本章内容分为两节。

第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三 角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三 角形的内容第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用， 并对第一节的学习有巩固和提高的作用在28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后 在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念对于正弦函数， 教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题， 就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题 由于这个锐角是一个特殊的30°角，所以可以利用“在直角三角形中， 30°角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题接下去教 科书又提出问题：如果30°角所对的边的长度发生改变，那么斜边的 长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论这样就能够使 学生体会到“无论直角三角形的大小如何，30°角所对的边与斜边的 比总是一个常数” 这里体现了函数的对应思想，即30°角对应数值 接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角 三角形中，45°角所对的边与斜边的比有什么特点利用勾股定理就 可以发现这个比值也是一个常数这样就使学生认识到“无论直角三 角形的大小如何，45°角所对的边与斜边的比总是一个常数” 。

通过探 讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中， 如果一个锐角的度数分别是30°和45°，那么它们所对的边与斜边的 比都是常数这里体现了函数的思想，也为引出正弦函数的概念作了 铺垫有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中， 一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的 问题这样教科书就进入对一般情况的讨论对于这个问题，教科书 设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角 形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边 与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以 得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如 何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值” 由此引出正弦函数的概 念这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想， 即在直角三角形中，对一个锐角的每一个确定的值，sin A都有唯一确 定的值与它对应在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究” 栏目中，类比正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题： 在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目 的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。

由于教科书比较详细地讨 论了正弦函数的概念，所以对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了 直接给出的方式，具体的讨论由学生类比正弦函数自己完成在余弦 函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想一些特殊角的三 角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了 30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了 已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是30°、 45°和60°这些特殊角教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊 角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现 锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系本节最后，教科书介绍 了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值 求对应的角等内容由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只 就常见的情况进行介绍 28.2节“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研 究解直角三角形的方法及其在实际中的应用本节开始，教科书设计 了一个实际背景，其中包括两个实际问题，这两个实际问题抽象成数 学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边求这个角的对边与已 知直角三角形的一条直角边和斜边求这两个边的夹角的问题。

解决这 两个问题需要用到28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容这两 个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的 是要引出解直角三角形的内容因此，教科书借助于这个实际问题背 景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据 两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书 归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角 之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系 这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容接 下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际 中的应用第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程 度的问题这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的对 边，求这个锐角的问题这要用到正弦函数第二个问题是确定“神 舟”五号变轨后，所能看到地面的最大距离这个问题实际上是已知 直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题这要用到 余弦函数第三个问题是确定楼房高度的问题这个问题抽象成数学 问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边这 要用到正切函数第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距 离。

解决这个问题需要反复利用正弦函数本节最后，教科书采用将 测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了 “化整为零，积零为整” “化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想三）课程学习目标 对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A表 示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正 切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已 知三角函数值求出相应的锐角 3.理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系， 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直 角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题 4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与 对应的思想；通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中 的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受 二、本章编写特点二、本章编写特点 （一）加强与实际的联系 本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容这两大 块内容是紧密联系的。

锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角 三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具解直角三 角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土因此本章编写时， 加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系例如， 在章前引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数； 结合使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法；等等 再有，教科书利用背景丰富有趣的四个实际问题，从不同的角度展示 了解直角三角形在实际中的广泛应用教科书这样将锐角三角函数和 解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有 你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的 理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决 实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决 数学问题得到数学问题的答案，再回到实际问题的这种实践—理论— 实践的认识过程这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生 学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣二）加大学生的思维空间，发展学生的思维能力 本章编写时一方面继续保持原有的通过设置“观察” “思考” “讨论” “探究” “归纳”等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的 思维能力。

同时结合本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学 习本章内容的学生已经是九年级） ，对于本章的一些结论，教科书采用 了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学 结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级那样，将这些探究过 程通过填空或留白等方式引导学生进行探究例如，教科书在详细研 究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一个“探究”栏目， 并提出问题：“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜 边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为 什么？”接下去，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而 将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比也分别是确定的”这个结论的 探究过程完全留给学生自己完成再如，对于30°、45°、60°这几 个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“思考”栏目，在 栏目中提出问题“两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个 锐角的正弦值、余弦值和正切值” ，然后教科书用一个表格直接给出了 这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求解过程留 给学生完成这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空 间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式。

（三）揭示数学内容的本质 本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概 念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它 反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系， 学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定困难，而这种对应关系 对学生深刻理解函数的概念又有很大帮助，因此，教科书针对这种情 况，加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻 画例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在直角三角形中，30° 和45°的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况进 行研究，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜 边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于 每一个锐角，都有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义同 样，教科书在阐述余弦函数和正切函数时也突出了锐角与“邻边与斜 边的比值”之间的对应关系以及锐角与“对边和邻边的比值”之间的 对应关系，并在边注进一步强调了这种函数关系：对于锐角A的每一个 确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数同 样地，cos A，tan A也是A的函数。

这样，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解微积分的思想在数学中占有重要的地位，其基本思想是“化整为零， 积零为整” “化曲为直，以直代曲” ，这个基本思想是很朴素的，是可 以在初等数学中得到反映的教科书在本章最后，结合解直角三角形 的内容，采用与测量大坝的高度和测量山的高度相对比的方式，直观 形象地介绍了在确定山的高。