几何与代数：3-4 空间直线.ppt

3.4 空间直线空间直线一、点向式方程一、点向式方程二、参数式方程二、参数式方程三、一般式方程三、一般式方程四、直线与直线的位置关系四、直线与直线的位置关系五、直线与平面的位置关系五、直线与平面的位置关系返回方向向量的定义：方向向量的定义：//一、点向式方程一、点向式方程 3.4 空间直线空间直线 如果一非零向量如果一非零向量 平行平行于一条已知直线于一条已知直线L，向量，向量 称为直线称为直线L的的方向向量方向向量．．.M0.M直线的点向式方程直线的点向式方程直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦. 例例1 求过空间两点求过空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)的直线方程的直线方程.解解 s = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), 例例2说明说明：：即，即，l 在平面在平面 y =2上上.直线的两点式方程解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程= （（2，，0，，4））二、参数式方程二、参数式方程设直线设直线 l 的方程的方程则则 上式称为直线上式称为直线l 的的参数方程参数方程，，t 称为称为参数参数，不同的，不同的t 对应于直线对应于直线l 上不同的点上不同的点.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为空间直线可看成两平面的交线．空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程 三、一般式方程三、一般式方程例例5 5 用点向式方程及参数方程表示直线用点向式方程及参数方程表示直线解一解一在直线上任取一点在直线上任取一点M0取取解得解得M0点的坐标点的坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取点向式方程点向式方程参数方程参数方程解二解二 由解法一已得直线上点由解法一已得直线上点M0 的坐标的坐标(1, 0, -2),取取 x1 =0, 则则取直线的方向向量为取直线的方向向量为 =(4, -1, -3),得直线方程为得直线方程为解三解三 由直线方程由直线方程(1)+(2): 3x + 4z + 5 =0 (1) 2-(2): 3y - z - 2 = 0 z = 3y - 2 方程方程(3)的方向向量的方向向量(-4,1,3)与与(4,-1,-3)平行，且点平行，且点 在解法一、二所确定的直线上，故方程在解法一、二所确定的直线上，故方程(3)与解法一、二所得的方程表示的为同一直线与解法一、二所得的方程表示的为同一直线.解四解四 ( (用高斯消元法用高斯消元法——行初等变换行初等变换) )参数式：参数式：点向式：点向式：例例6 6 确定直线确定直线l 外一点外一点M0(x0, y0, z0)到到l 的距离的距离.设设M1(x1, y1, z1)是直线是直线l 上任意一确定的点，上任意一确定的点，M是是l 上另一点，且上另一点，且M1M = s = (m, n, p),则直线则直线l 的方程为的方程为如图所示平行四边形面积如图所示平行四边形面积S = ||M1M0   M1M || = ||s   M1M0|| = d ||s ||dMM1M0l..点到直线的距离点到直线的距离例例7 7 求点求点M0(1 ,2, 1)到直线到直线的距离的距离.解解取取 z =0, 得得 x =1, y =1, M1(1, -1, 0)  l. M1M0 = (0, 3, 1).直线直线直线直线由此公式可计算两条直线的夹角由此公式可计算两条直线的夹角.1. 1. 两直线的夹角两直线的夹角四、直线与直线的位置关系四、直线与直线的位置关系 两直线两直线L1与与L2的方向向量的方向向量 与与 的夹角称（通常指的夹角称（通常指锐角）称为锐角）称为L1与与L2的夹角，记为的夹角，记为< L1, L2 >.直线直线异面或共面(相交,平行,重合)2. 两直线的位置关系：两直线的位置关系：//直线直线直线直线例如，例如，解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程 直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．称为直线与平面的夹角．五、直线与平面的位置关系五、直线与平面的位置关系1、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式代入平面的方程，得//2. 直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：解解为所求夹角．为所求夹角．例例11 直线直线l 过点过点M(2,5,-2)且与直线且与直线垂直相交，求垂直相交，求l 的方程的方程.解解只需求出交点只需求出交点N的坐标即可的坐标即可.过过M作平面作平面  与与l1 垂直，垂直，   与与l1的交点即的交点即N.l1 的方向向量的方向向量 NMll1 过过M(2,5,-2)且与且与l 垂直的平面垂直的平面 : -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.9x - 5y - 7z - 7 = 0.将直线将直线l1 与与 的方程联立：的方程联立：解得解得：：x =1, y = -1, z =1.这就是这就是l1与与  的交点的交点N的坐标的坐标(1, -1, 1).直线直线l 的方向向量的方向向量s = MN = (-1, -6, 3).l 的方程的方程定义定义 两异面直线的公垂线是指与两直线都垂直两异面直线的公垂线是指与两直线都垂直相交的直线。

相交的直线定义定义 两异面直线间的距离两异面直线间的距离等于等于公垂线夹于两直公垂线夹于两直线间的线段的长线间的线段的长直线直线直线直线 两直线间的距离两直线间的距离定义定义 两直线间的距离两直线间的距离等于等于两直线上的点间的最两直线上的点间的最短距离 直线 的公垂线  直线 的公垂线 3. 平面束设直线设直线l 的方程是的方程是(1)(2)除方程除方程(2)所表示的平面外，经过直线所表示的平面外，经过直线l 的所有平的所有平面都可由下式表示：面都可由下式表示：经过直线经过直线l 的平面全体称为过的平面全体称为过l 的的平面束平面束.方程方程(3)称为过直线称为过直线l 的的平面束方程平面束方程.例例13 求直线求直线在平面在平面 ：：2x + 2y + z -11=0上的投影直线上的投影直线.解解 过直线过直线l 作一平面作一平面 ’与与  垂直，则垂直，则 ’与与  的交线的交线l’就是就是l 在在  上的投影上的投影.将将l 的方程改写为一般式的方程改写为一般式过过l 的平面束方程为的平面束方程为x + 4y - 24 +   (3y + z -17) = 0即即x + (4 + 3   ) y +   z - (24 + 17 ) = 0其法向量为其法向量为n’ =(1, 4 + 3   ,  ),由由 ’ 可得可得 ’的方程为的方程为即即7x - 2 y - 10z + 2 = 0直线直线l 在在  上的投影为上的投影为解解2取取即即所以所以l 在在  上的投影直线为上的投影直线为解解例例14判判 定定l :与与π: x + 4y – z –1 = 0的位置关系的位置关系. 若相交，则求出交点与夹角若相交，则求出交点与夹角.所以所以l 与与π相交相交.代入代入π, 得得所以所以l 与与π交点交点空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系） 小结小结思考题思考题解答且有故当 时结论成立．。