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电磁场与电磁波 参考教材:《电磁场与电磁波》孙玉发 郭业才等 编合肥工业大学出版社第一章 矢 量 分 析1.1基本概念一、标量场与矢量场如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量 的确定值与之对应，在这个区域中就构成该物理 量的场v标量场：如果物理量是一个确定的数值的标量， 这种场就叫标量场（scalar field），如温度场、 密度场、电位场等v矢量场：如果物理量是一个既有确定数值又有确 定方向的矢量，这种场就叫矢量场（vector field ）如水流中的速度场、地球表面的重力场、 带 电体周围的电场等xyzox1x1x1图1-1 直角坐标系的单位矢量xyzo图1-2 直角坐标系矢量的分解1.直角坐标系中矢量表示法过空间任意点的坐标矢量记为 的方向不随点位置的变化而变化v在直角坐标系内的任一矢量(图1-2)可表示 （1-1 ）v 分别是矢量 在方向 上的投影。

v矢量的长度或模值 （记为 ）可从图1-2中写出（1-2 ） v 分量是矢量 分别在坐标单位矢量方向上的 投影，即（1- 3） 式（1-1）可写为（1- 4）v 模等于1的矢量叫做单位矢量v按矢量与数量乘积的定义，有由式（1-4），在直角坐标系中，有 （1- 5）v 直角坐标系中以坐标原点为起点，引向空间任 一点的矢量，称为点的矢径，如图1-2有（1- 6）（1- 7）（1- 8）空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等 于点 的坐标值空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对 应着空间确定的一个点，即矢径的终点所以又 叫做位置矢量 如果空间任一矢量的起点是 ，终点是 ，根据式（1-6）及矢量的加法规则，矢量 表示为（1-7）v矢量的模值记为 ，是点与点 之间的距离，由式（1-9）得（1-10 ）v矢量的单位矢量（1- 11）xyzOx1图1-3 空间矢量表示方法式中三个分量的系数也就是矢量的方位余弦v 如果空间有一长度元矢量，它在直角坐标单位 矢量上的投影值分别是 ，则（1- 12）（1- 13） 2 矢量场的矢量线v一个矢量场，可以用一个矢量函数来表示。

在直角坐标系中，某一矢量物理函数可表示为 （1-14 ）用分量表示为（1- 15）上式中 、 、 分别是矢量 在三 个坐标轴上的投影为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的 概念矢量线上每一点的切线方向都代表该点的 矢量场的方向v一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量 线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空 间电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是 矢量线的例子v为绘出矢量线，求出矢量线方程在矢量线上任 一点的切向长度元与该点的矢量场的方向平行， 即（1-16 ）由式（1-12），式（1-15）简写为v式（1-16）可写为展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性 质，或两矢量平行的基本条件，可得（1-17 ）这就是矢量线的微分方程v【例1-1】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间 的任一点所产生的电场强度矢量求 的矢量方程的通解解】由式（1-17）化简后得矢量线微分方程此方程的通解是（ 为任意常数）v将此解综合，可以写为 ：（ 为任意 常数）可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点 （原点）向空间发散的径向辐射线。

这样一簇矢 量线形象地描绘出点电荷电场的分布状况3 矢量代数运算v假设两个矢量，v(1) 矢量的和差 把两个矢量的对应分量相加或相减，就得到它们 的和或差，即（1- 18）v(2)矢量的标量积和矢量积矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量 积（叉乘）v◆ 标量积: 是一标量，其大小等于两个矢量模 值相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦 ：（1-19 ）是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的 乘积符合交换律：（1-20 ）（1-21 ） ◆ 矢量积: 是一个矢量，其大小等于两个矢量的 模值相乘，再乘以它们夹角的正弦，实际就是与 所形成的平行四边行面积，其方向与 、 乘右手 螺旋关系，为 、 所在平面的右手法向：（1-22 ）它不符合交换律由定义知（1-23 ）并有（1-24 ）（1-25 ）各分量的下标次序具有规律性1-25）式可以 写成行列式（1-26 ）◆ 矢量的三重积：矢量的三连乘也有两种v标量三重积为（1-27 ）因为，的模值就是 与 所形成的平行四边行面积 ，因此， 就是该平行四边行与C所构成的平行 六面体的体积。

矢量三重积为（1-28 ）v上式右边为“BAC－CAB”，称为“Back－Cab”法则4 矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念v常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢v变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变 矢v矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几 个 （标量）变量的函数，叫矢量函数例如，静 电场中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般 也是 的函数，即（1-29 ）v如果给定矢量场中任一点的坐标，式（1-29）就 给出该点的一个确定的矢量（电场强度）二）矢量函数的导数 ◆ 矢量对空间坐标的导数v设是单变量的矢量函数，它对 的导数定义是（1-30 ）v这里假定此极限存在（即极限是单值的和有限的 ）如图1-4所示，在一般情况下，矢量的增量不 一定与矢量的方向相同如果 是一个常矢量； 则 必等于零一阶导数仍然是一个矢量函数 逐次求导，就可得到 的二阶导数以及更高阶导 数 v如果 和 分别是变量的标量函数和矢量函数，则 它们之积的导数由式（1-30）可得当 时，上式右端第三项趋向于零因此（1-31 ）v 和 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的 导数运算法则相同。

v如果 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导 数的定义是（1-32 ） 由式（1-32）可以证明（1-33 ）对 再次取偏微分又可以得到象 ， 等等这样 一些矢量函数若至少有连续的二阶偏导数，则 有v在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量， 其导数为零v利用式（1-50）有v结论：在直角坐标系中，矢量函数对某一坐标变 量的偏导数（或导数）仍然是个矢量，它的各个 分量等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导 数（或导数）的矢量和简单地说，只要把坐标 单位矢量提到微分号外就可以了 ◆ 在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量 不是常矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量 提到微分符号之外v在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量 地偏导数是 （1-34a ）（1-34b ） （1-34c ） v结论：在柱坐标系下， 是常矢，它对任何一个坐 标变量求导都为零， 都不随 变化而变化， 也就是它们对 求导也为零从单位矢量在空间 坐标系中随位置的变化情况能够体会到这一点。

v在球坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量 地偏导数是（1- 35a）（1- 35b）（1-35c ） v在柱、球坐标系中，求矢量函数对坐标变量得偏 导数时，必须考虑式（1-34）和（1-35）中的各 个关系式例如，在柱坐标系中，矢量函数可表 示为对 坐标变量的偏导数是 又如在球坐标系中矢量函数可表示为对 坐标变量的偏导数是v结论: 直角坐标系下的坐标单位矢量 不是空 间位置的函数，而柱坐标系、球坐标系下的坐标 单位矢量 都随空间位置变化而变化，是空 间位置的函数 ◆ 矢量函数对时间的导数有些矢量场既是空间坐标变量的函数，又是时间 变量的函数在各种坐标系中的坐标单位矢量不 随时间变化，求偏导数时，可以把它们作为常矢 量提到偏微分符号之外在球坐标系中，从上述分析看出: 矢量函数对时间和空间坐标变量 的导数（或偏导数）仍然是矢量5 矢量函数的积分矢量函数的积分，包括不定积分和定积分两种 例如，已知是的一个原函数，则有不定积分 （1-36 ）v一般函数积分的基本法则对矢量函数积分也都适 用在柱坐标系和球坐标系中求矢量函数的积分 时，仍然要注意式（1-34）和（1-35）中的关系 ，不能在如何情况下都将坐标单位矢量提到积分 运算符号之外。

例如，在柱坐标系中的积分将 代入后再进行积分因 ， 与 坐标变量无关，可以提到积分符号之外得1.2 标量函数的梯度一、标量场的等值面v一个标量场，可用一个标量函数来表示例如， 在直角坐标系中，一物理标量函数可表示为（1- 37）v或用矢径确定点的位置 下面假定 是坐 标变量的连续可微函数方程(C为任意常数) （1- 38）随着 的取值不同，给出一组曲面在每一个曲 面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值相等 这样的曲面称为标量场的等值面如温度场的等温面 ，电位场的等位面式（1-38）为等值面方程v根据标量场的定义，空间的每一点上只对应一个 场函数的确定值因此，充满整个标量场所在空 间的许许多多等值面互不相交或者说场中的一 个点只能在一个等值面上v如果某一标量物理函数是两个坐标变量的函数， 这样的场称为平面标量场则方程（为任意常数） （1-39 ）为等值线方程，在几何上表示一组等值曲线场 中的等值线也是互不相交的例1-2】 设点电荷位于直角坐标系的原点，在它 周围空间的任一点的电位是式中 和 是常数。

试求等电位面方程v【解】 令 （ C常数）即得到等电位面方程或 它表示一簇以原点为中心，以 为半径的球面 值（电位值）越小，对应的球面半径越大；与C值 等于零对应的是一个半径为无限大的球面二、方向导数v在研究标量场时，需要了解标量函数在场中各个 点地邻域内沿每一方向的变化情况为此，引入 方向导数如图1-6所示，设 为标量场中的一点，从 点出发朝任一方向引一条射线并在该方向上靠近点取一动点 ,两点的距离表示为 根据偏 导数定义，可以写出（1-40 ）称为函数在点 沿 方向的方向导数说明函数 沿 方向是增加的；，说明函数 沿 方向是减小的；，说明函数 沿 方向无变化v因此，方向导数是函数在给定点沿某一方向对距 离的变化率在直角坐标系中， 三个坐标轴 方向的方向导数v在图1-6中根据多元函数的全增量和全微分的关系，有上式两端除以 ，并令 取极限得v由方向导数的定义式（1-40）。

略去下标 ，即 得到直角坐标系中任意点上沿 方向的方向导数的 表达式（1-41 ） 【例1-3】 求函数 在点 沿 方向的方向导数解】在点 有的方向余弦是由式（1-41）得三、梯度(Gradient)（一）梯度的定义v方向导数是函数在给定点沿某。