辅助线引法类比激活策略.doc

辅助线引法类比激活策略“类比就是相似比较.”或者说类比就是类似比较•联想 是一种既有目的又有方向的想象，是由当前感知或思考的问 题想起其它事物的心理活动.所谓类比联想是以类比为方 法、以联想为导向的探求规律和探索解题思路的策略.1降低难度的类比❷所谓降低难度的类比(又称简化类比)是根据“简单是 真理的标志”和“以退求进”的策略，为了求证复杂的数 学证明题，而找与它有内在联系的简单类比题来证明，把 简单类比题钻深了，看透了，然后再去证明复杂问题就容 易多了.❷我们用类比联想的方法不但构造了简单类比联想题(这 是合情推理的猜想)，而且还用论证推理证明了它.正如 G•；波利亚说：“在求解所提出问题的过程中，我们经 常可以利用一个较简单的类比问题的解答；我们可能利用它 的方法或者可能利用它的结果，或者可能三者同时利 用” •⑴❷例1如图1,在直线1 一旁有平行四边形ABCD,且 BE丄1,AF丄1,CH丄1,DP丄1,点E、F、G、H、P是垂足，求证 (1)EF=HP,EH=FP,(2) BE+AF+CH+DP=40G.❷图1图2证明(1)由AB二DC推出EF二HP,又由AD=BC推出EH二FP. 这是由于相等的平行线段，其射影也相等.❷(2)连结BD、AC相交于0点，作0G丄1,G为垂足.因 为根据平移变换，0G既是梯形AFHC的中位线，又是梯形 BEPD的中位线，所以❷0G二12 (BE+DP),0G二12 (AF+CH)❷20G二12(BE+DP+AF+CH), 推出 BE+AF+CH+DP二40G.令例2如图2,从三角形的三顶点向形外一直线所引三垂线的和，必等于重心向该直线所引垂线的3倍.❷证明一方面根据重心的定义与性质，0E二13BE,可取0B之中点M,又根据平移变换的性质，AE二EC推出GP二PK,又由BM二M0二0E推出HN二NL二LP, EP与0L分别是直角梯形AGKC与MNPE 的中 位线，0L=12(MN+EP),EP=12 (AG+CK)推 出MN+EP二20L❷2MN+2EP二40L, 但 是2MN二BH+OL,2EP二AG+CK,AG+BH+CK+OL二40L❷AG+BH+CK二30L.❷例2到例1是一种类比猜想•❷波兰数学家斯•；巴拿赫说:“一个人是数学家， 那是因为他善于发现判断之间的类似；如果能判明论证之间 的类似，他就是一个优秀的数学家；可是，我认为还应当有 这样的数学家，他能够洞察类似之间的类似•”❷可以想象，从平行四边形到平面三角形，再到平面线段, 是类比，则有“线段中点到另一条直线的距离等于线段两 端向该直线引垂线之距离和的2倍•”❷从2倍到3倍再到4倍难道不是“类比猜想”到数学思 维的“后证”的发现吗！ ？❷在例2中若三角形外的直线过垂心，又可探索出什么结 论呢？读者还可以看出“类比不但有发现真理、认识真理的 认识论基础，而且还有证明真理的方法论意义.”又说“客 观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础，相似 性的存在提供了类比的可能性，而差异性的存在又限制着类 比的范围.如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性， 那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用；反之，如果 片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性，那么就会陷 入“不可知论”的泥坑.” [2]2结构类比❷所谓结构类比是指新的条件与结论与已经掌握的定理 （或公理）的条件与结论极其相似，将它们进行类比，即这 种将要探讨的问题与探讨所需定理之间进行的类比叫做结 构类比.❷2. 1条件联想定理的结构类比❷所谓条件联想定理的结构类比是从已知条件联想定理、 公式，通过由“由因导果”的综合法找到证题途径，从而 使定理与本题产生结构类比的思想方法.❷图3例3如图3,已知00的直径为d,其内接四边形ABCD 的对角线 AC丄BD , 垂足是 E. 求 证：EA❷ 2+EB ❷ 2+EC❷ 2+ED❷2 二 d❷ 2.分析由于。

0的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线 AC丄BD,垂足是E,联想起勾股定理，由于DC与AB不在一个 直角三角形中，故必须添过圆心的直径A0F,连结CF,BF.EA ❷ 2+BE❷ 2 二 AB ❷ 2, ED❷ 2+EC❷2 二 DC❷ 2, CF 〃 BD ❷ DC 二 BF, DC 令2 二BF ❷2 ❷ EA ❷ 2+EE ❷ 2+ED❷ 2+EC❷ 2 二 AB❷ 2+BF ❷2 二 AF ❷2所求证的结论成立.❷2. 2结论联想定理的结构类比❷所谓结论联想定理的结构类比是从结论联想定理、公式, 通过由“执果索因”的分析法找到证题途径，从而使定理 与本题产生结构类比的思想方法.❷例4如图4,两圆外切于P, —直线交两圆于A、B、C、 D 四点，求证：ZAPD+ZBPC=180° •❷分析1由结论联想到三角形的内角和定理，但是求证的 两个角彼此重叠在一起，添过P点的公切线PQ可将角分解 代 换：ZAPD=ZAPB+ZBPQ+ZCPQ+ZCPD , ZQPB=ZA , ZQPC=ZD,这是弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，又由 三角形外角定理有ZBCP=ZD+ZCPD, ZCBP=ZA+ZBPA,这 表面上看是将角分散了，但是“分解与重新组合”，使求证: ZAPD+ZBPC=180° 的 结 论 获 得 了 新 生:ZAPD+ZBPC=ZBPC+ZPBC+ZBCP=180° .❷分析2由结论联想AAPD的内角和定理，作过P点的公 切线 PQ, ZBPC=ZBPQ+ZCPQ, ZBPQ=ZA, ZCPQ=ZD,最 后得出 ZAPD+ ZA+ ZD= ZAPD+ ZBPC= 180° .❷图4图5例5如图5,两圆相交于P, Q, 一条外公切线切两圆于 A, B,求证：ZAPB+ZAQB=180° •令分析求证的结论类比联想AQAB （或APAB）的内角和 定理，用“分解与重新组合”的方法，用弦切角等于它所 夹弧所对的圆周角，读者可继续思考下去，可激活此题，这 当然也是用两种方法都体现"类比激活策略” •❷这两个证明题都用到三角形的内角和定理，它们的每 一道题均属结论联想定理的结构类比；但是，这两道题之 间只是从两圆外切到两圆相交，是形式类比.❷2. 3条件与结论都联想定理的结构类比❷图6例6如图6,在。

0中，BA为直径,AD是切线,BD、BF是 割线，分别交G>0于C和E,求证:BEXBF=BCXBD.分析 由求证联想到射影定理 AB^2=BEXBF,AB❷2二BCXBD,再由已知，BA为直径，AD是切 线,BF是割线，在RtAABD与RtABAF中，可知射影定理满足 条件，得出 BC XBD=BE XBF.3横向类比❷所谓横向类比是指“被比较的对象的属性不处于明显 的互相依存的状态❷3. 1形式类比❷所谓形式类比是两个对象的关系相似或相同而引起的. 形式类比又称为关系类比.❷例7如图8,是一个3X3的正方形，如图7,是一个2X2 的正方形.❷(1) 在图7中求Z4+Z5+Z7+Z8的度数?❷(2) 在图8中求Z1+Z2+Z3+-+Z9的度数?❷分析为求(2),用简单类比方法必需先求(1)的结果；反 之，从(1)至9(2)是普遍化的策略，这是对图形绝妙地观察，即 利用对称性可得出简洁的解题策略.❷图7图8解(1)：在图7中，沿对角线对折，上下图形完全重 合，Z4+Z8=90° , Z5=Z7=45° ^Z4+Z5+Z7+Z8=180° .(2)在图8中，沿对角线对折，左上边的图形与右下方的 图 形 也 重合，Z1+Z4Z2+Z6二Z4+Z8=90° ^Zl+Z2+Z3+-+Z9 =3X90° +3X45° =405° .❷本例的⑴是为⑵铺垫的，不会解⑵时，可以退到 (1),寻求方法.正如华罗庚教授说：“要善于退，足够地退， 退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决 窍.”❷3. 2方法类比❷所谓方法类比是借助于过去的经验、知识、技能、思想 方法而进行类似比较的方法.例8如图9,已知B、C、E在同一条直线上,AABC. ADCE 都是等边三角形，且都在直线BCE的同侧,AE,DB分别交CD、AC于G、F,求证：AGFC是等边三角形.❷图9图10证明若设AB=BC=AC=a,DC=CE=DE=b可用联系的设问① 为什么FC〃DE?（因为ZACB=ZDEC=60°由同位角相等推出 两直线平行.）②用什么定理可得FCb=aa+b（平行线截得比例 线段定理.［③如何将FC用a,b来表示?（FC=aba+b）④CG也 能用同样的表达式吗？为 什么？（因为 CG〃AB❷CGa二ba+b❷CG二aba+b）⑤用什么公理可将所得的两 个表达式联系起来？（等量公理.）⑥既然CG=aba+b=CF,用什 么定理可得ACFG是等边三角形呢？（顶角是60°的等腰三 角形是等边三角形）.例9如图10,在AABC中ZA=90°，以AB为直径作半圆, 过C作半圆的切线CT,T为切点，TD丄AB交CB于M.求 证:TM=MD.证明 过B点作圆的切线交CT于F,设CA二CT二a,FB二FT二b, AC 〃 TD 〃 FB^MDa=BDBA=FTFC=ba+b^MD=aba+b, 同 理 MT=aba+b,所以 MT二MD•❷例9与例8的证明方法多么相似，故为方法类比.❷4因果类比❷所谓因果类比是两类事物在变化过程中，由相似的原 因''由因导果”地推出相似的结果；或者反之，由相似的 结果''执果索因”地得出相似的原因的类比.❷例 10 在例 7 ( 2 ) 中，证明:Zl+Z2+Z3+Z6+Z9+Z8+Z7+Z4=360° .❷可见例10与例7 (2)是属于因果类比.❷综上所述，用类比的数学思想添辅助线或分析证题思 路，是沟通证题思路的行之有效的方法，但要注意的是类 比不等于证明，G•；波利亚又说：“如果把这种猜测的 似真性当作肯定性，那将是愚蠢的，但是忽视这种似真的 猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢” ［3］这是用类比添辅助线 的辩证评价.❷参考文献❷［1］ G•；波利亚著.怎样解题［M］.北京：科 学出版社,1984： 43.❷［2］傅世球.中学数学教学的艺术［M］.长沙:湖 南教育出版社,1989. 5.❷［3］ G•；波利亚著.怎样解题［M］.科学出 版社,1982： 43.10。