高一数学指数函数、对数函数、幂函数知识归纳.pdf

学堂秘籍谢绝外传 严谨治学桃李满堂莲花学堂： 0592-5250933 思明区吕厝莲花广场34 号楼 23G （新华都购物广场后面） 1 用心做 好 孩 子 学 习 的 高一数学—徐哲宇 领路人 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1. 根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时 ，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时 ，正数的次方根 有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3. 分数指数幂的意义： ； 注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1. 指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2. 指数函数函数性质： 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 学堂秘籍谢绝外传 崇尚学习快乐之本吕厝学堂： 0592-5250933 思明区吕厝摩尔莲花广场香莲里34 号楼 27B（新华都购物广场后面） 2 中小学个性化课外 高一数学—徐哲宇 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性 在上是增函数在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影 响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 1. 对数的定义 (1) 若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数 . (2) 负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2. 几个重要的对数恒等式：，，. 3. 常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即( 其中⋯). 4. 对数的运算性质 如果，那么①加法： ②减法：③数乘：④ ⑤⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1. 对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2. 对数函数性质： 学堂秘籍谢绝外传 严谨治学桃李满堂莲花学堂： 0592-5250933 思明区吕厝莲花广场34 号楼 23G （新华都购物广场后面） 3 用心做 好 孩 子 学 习 的 高一数学—徐哲宇 领路人 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向 看图象，逐渐减小 . 知识点五：反函数 1. 反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子. 如果对于在中 的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数， 函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2. 反函数的性质 (1) 原函数与反函数的图象 关于直线对称 . (2) 函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. 学堂秘籍谢绝外传 崇尚学习快乐之本吕厝学堂： 0592-5250933 思明区吕厝摩尔莲花广场香莲里34 号楼 27B（新华都购物广场后面） 4 中小学个性化课外 高一数学—徐哲宇 (3) 若在原函数的图象上，则在反函数的图象上 . (4) 一般地， 函数要有反函数则它必须为单调函数. 3. 反函数的求法 (1) 确定反函数的定义域，即原函数的值域； (2) 从原函数式中反解出； (3) 将改写成，并注明反函数的定义域. 知识点六：幂函数 1. 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数 . 2. 幂函数的性质 (1) 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象. 幂函 数是偶函数时，图象分布在第一、二象限( 图象关于轴对称 ) ；是奇函数 时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时， 图象只分布在第一象限. (2) 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3) 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函 数. 如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内， 图象无限接近轴与轴 . (4) 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数. 当( 其中互质，和 ) ，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为 偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. (5) 图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图 象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下 方. 学堂秘籍谢绝外传 严谨治学桃李满堂莲花学堂： 0592-5250933 思明区吕厝莲花广场34 号楼 23G （新华都购物广场后面） 5 用心做 好 孩 子 学 习 的 高一数学—徐哲宇 领路人 综合训练 一、选择题 1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为 ( ) A．B．C．D． 2．若函数的图象过两点和，则 ( ) A．B．C．D． 3．已知，那么等于 ( ) A．B．8C．18 D． 4．函数( ) A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减 C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减 5． （2011 辽宁理 9）设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（） A．B．C．D． 6．函数在上递减，那么在上( ) A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值 二、填空题 7．若是奇函数，则实数=_________. 8．函数的值域是 __________. 9．已知则用表示____________. 10．设, ,且，则____________；____________. 11．计算：____________. 12．函数的值域是 __________. 学堂秘籍谢绝外传 崇尚学习快乐之本吕厝学堂： 0592-5250933 思明区吕厝摩尔莲花广场香莲里34 号楼 27B（新华都购物广场后面） 6 中小学个性化课外 高一数学—徐哲宇 三、解答题 13．比较下列各组数值的大小： (1)和；(2)和；(3). 14．解方程： (1)； (2). 15．已知当其值域为时，求的取值范围 . 16．已知函数，求的定义域和值域. 能力提升 一、选择题 1．函数上的最大值和最小值之和为，则的值为 ( ) A．B．C．2D．4 2．已知在上是的减函数，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 3．对于，给出下列四个不等式 ①②③④ 其中成立的是 ( ) A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④ 学堂秘籍谢绝外传 严谨治学桃李满堂莲花学堂： 0592-5250933 思明区吕厝莲花广场34 号楼 23G （新华都购物广场后面） 7 用心做 好 孩 子 学 习 的 高一数学—徐哲宇 领路人 4．设函数，则的值为 ( ) A．1B． -1C．10 D． 5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果 ，那么 ( ) A．，B．， C．，D．， 6．若,则( ) A．B．C．D． 二、填空题 7．若函数的定义域为，则的范围为 __________. 8．若函数的值域为，则的范围为 __________. 9．函数的定义域是 ______；值域是 ______. 10．若函数是奇函数，则为__________. 11．求值：__________. 三、解答题 12．解方程：(1)(2) 学堂秘籍谢绝外传 崇尚学习快乐之本吕厝学堂： 0592-5250933 思明区吕厝摩尔莲花广场香莲里34 号楼 27B（新华都购物广场后面） 8 中小学个性化课外 高一数学—徐哲宇 13．求函数在上的值域 . 14．已知，,试比较与的大小 . 15．已知，⑴判断的奇偶性；⑵证明． 。