高三数学三角形中的常见错解剖析专题辅导.pdf
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word三角形中的常见错解剖析三角形中的常见错解剖析斯华清解三角形问题是个难点，怎样才能突破这个难点呢？只有正确理解三角形中的边角关系，即三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系，才能克服难点，下面就解三角形问题中的常见错误进行分析，以期对同学们的学习有所帮助一、不注意三角形的边角关系，造成角的X 围变化而致错例 1在ABC 中，sin2A sin2B，试判断三角形的形状错解：由sin2Bsin2A，得2B2A，所以A B，知此三角形为等腰三角形剖析：上面的式子不是等价变换，未考虑三角形中角的X 围而致错由已知得2B2A或2B 2A，所以 A=B 或A B2故ABC 是等腰三角形或直角三角形例 2A、B、C 为ABC 的内角，且cosA 35，sinB，求cosC的值513错解：由cosA 345，知A0,，得sinA，sinB，知B0,，所以25513121656，从而cosC cosA B cosAcosB sinAsinB 或cosC13656554剖析 1：由于sinB，sinA，故sinBsinA，两边乘以ABC外接圆的直径1352R，得2RsinB 2RsinA ba B A。
1216故角B一定是锐角，于是cosB，知cosC 1365132剖析 2：由 cosA 且0 A ，而余弦函数在0,上为减函数，得252515 A，由0sinB，得0 B或 B所以 A B或431326642134（不合题意），显然 B 为锐角以下过程请同学们自己做一做）A B123为了得到第三种解法，下面给出一个命题命题：在ABC 中，给定角 A、B 的正弦值或余弦值，则角 C 的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是cosA cosB0证明：角 C 有解cosB A B有解 0 A B 0 A B cosA cos BcosA cosB cosA cosB0故判断角 C 是否有解，只需考虑cosA cosB的符号12剖析 3：利用上面的命题可轻易得解，当cosB 时，cosA cosB0，此时角C1312无 解；当cosB时，cosA cosB0，此 时 角C有 解，故131/3cosC cosA BsinAsinB cosAcosB 二、讨论问题不彻底而致错1665例 3已知ABC 中，B30，AB=2 3，AC=2，求ABC 的面积错 解：由 正 弦 定 理 得sinC ABsinB3，所 以C 60，得A 90，故AC211ABACsinA 2 3 21 2 3。
223剖析：实际上，由sinC 可得C 60或C120，因为它们都满足“大边对大角，2小边对小角”的条件ABsinB3由正弦定理得sinC，又因AB AC，所以C 60或C120AC211当C60时，A 90，于是SABCABACsinA 2 3 21 2 3，当22111C120时，A 30，于是SABCABACsinA 2 3 23222SABC故ABC 的面积是2 3或3三、忽视取最值条件而致错例 4在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，D 是 BC 边上一点，ADBC，垂足为 D 且 AD=BC=a，求bc的最大值cb2Sbcb2 c2b2 c2 a2a2错解：2cosA ABC 2cosA sinAcbbcbcbcbc5sinA （由tan 2所确定）bc的最大值是5cb25，sin A 剖析：在上述错解中，*式等号成立的条件是当且仅当cosA 15，即11，当BD DC时，CAD 和BAD 两者必有一个其正切值大于，而当BD DC22A11时，tan，无论哪种情况必有tanA，就是说*式中等号不能成立222tanA 11 b设 xx 0，则fxx 2 x，xcx当点 D、C 重合时x 222，当点 D、B 重合时x 2，故 x 2。
222/3word2显然x 1时，fxmin 2，当x时，由函数单调性定义知fx递减，当,12x(1,2时，fx递 增，所 以fx的 最 大 值 在x 2或x 2时 取 得，因22f2 f3 2c2322，所以b的最大值是2ca四、忽视构成三角形的条件而致错例 5a、a 1、a 2为钝角三角形的三边，求 a 的 X 围a2a 1a 2错解：a 2为最大边，设它的对角为，由余弦定理知cos 2aa 122a 3 0，得a 3，所以0a 32a剖析：此解法是不完整的，只考虑最大边a 2的对角为钝角，没有注意a、a 1、a 2三边能否构成三角形，因此还应该注意“三角形中的两边之和大于第三边”这个隐含条件由上述解法并结合a 2 a a 1知a 1，故 a 的 X 围是1a 3注意：从上述各例中，我们可以看到忽视各种条件对角X 围的制约，就可能导致错解因此在三角形问题中，要认真审题，周密思考，善于捕捉题目中的“蛛丝马迹”，不断增强洞察和显化隐含条件的能力，只有这样才能提高解题的正确率。
