北师大版2019-2020学年数学精品资料第1课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)记法公式推导方法S2αsin 2α＝2sin_αcos_αSα＋βS2αC2αcos 2α＝cos2α－sin2αCα＋βC2αcos 2α＝1－2sin2αcos 2α＝2cos2α－1利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αT2αtan 2α＝Tα＋βT2α[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S2α，C2α中，角α为任意角，在T2α中，只有当α≠kπ＋(k∈Z)及α≠＋(k∈Z)时，才成立．2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)－sin2；(3)；(4)－.[尝试解答] (1)原式＝(2sin 75°cos 75°)＝sin 150°＝×＝.(2)原式＝(1－2sin2)＝cos ＝×＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.(4)原式＝＝＝＝＝4.二倍角公式的“三用”：(1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升幂公式)，cos2α＝，sin2α＝(降幂公式)．练一练1．求值：(1)sin cos cos cos cos ＝________；(2)＝________．解析：(1)原式＝sin cos cos cos ＝sin cos cos ＝sin cos ＝sin ＝.(2)原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.答案：(1) (2)2讲一讲2．已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝，∴sin α＝.原式＝＝·＝·＝×＝－.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知<α<π，tan α＋＝－.(1)求tan α的值；(2)求的值．解： (1)∵tan α＋＝－，∴3tan2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－或tan α＝－3.∵<α<π，∴－10，所以＝4×，因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.因此－1≤f(x)≤.故f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值分别为，－1.已知cos(＋x)＝，0，cos α<0.又sin α＋cos α＝>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0.∴cos 2α＝－＝－.tan 2α＝＝.法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝ ＝＝.∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝×(－)＝－.∴tan 2α＝＝.一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝( )A．－ B．－C. D.解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.2．(陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A. B.C．0 D．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.3．(江西高考)若＝，则tan 2α＝( )A．－ B.C．－ D.解析：选A 由已知条件得＝⇒tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.4．已知cos(＋θ)cos(－θ)＝eq \f(\r(3),4)，θ∈(π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( )A. B．－C．－ D.解析：选C cos(＋θ)×cos(－θ)＝sin(－θ)cos(－θ)＝sin(－2θ)＝cos 2θ＝.∴cos 2θ＝.∵θ∈(π，π)，∴2θ∈(π，2π)，∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝，∴sin θ＋cos θ＝－.二、填空题5．函数f(x)＝cos 2x－2sin xcos x的最小正周期是________．解析：f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos(2x＋)．∴T＝＝π.答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．解析：tan 20°＋4sin 20°＝＝＝＝＝＝2sin 60°＝.答案：7．已知tan(x＋)＝2，则的值为________．解析：∵tan(x＋)＝＝2，∴tan x＝.又∵tan 2x＝，∴＝(1－tan2x)＝(1－)＝.答案：8．化简：＝________．解析：＝＝＝1.答案：1三、解答题9．已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．解：∵≤α<，∴≤α＋<.∵cos(α＋)>0，∴<α＋<.∴sin(α＋)＝－ ＝－ ＝－.∴cos 2α＝sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2×(－)×＝－，sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×()2＝.∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α＝×(－－)＝－.10．(四川高考)已知。
