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几种有趣的数 几种有趣的数——— 完美数、回文数、相亲数、金兰数、自幂数江苏省泗阳县李口中学沈正中1. 完美数某数的所有的真约数（真约数：列出某数的所有约数，去掉该数本身——最大约数，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完美数，又称完全数或完备数对于“4”这个数，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数（又称作缺数）类似地有1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, ……等都是亏数对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是16，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数（又称作又称丰数或过剩数或富裕数）类似地有12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, ……等都是盈数以上列出的盈数都是偶数最小的奇数盈数是945，奇数盈数较少所以，完美数就是既不盈余，也不亏欠的自然数例如：第一个完美数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+ 2+3=6。

第二个完美数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身2 8外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28第三个完美数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496后面的完美数还有8128、33550336, …… 等等古希腊人非常重视完美数毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了29个完美数，而且都是偶完美数前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336所以1000以内只有三个完美数2. 回文数从左向右读与从右向左读的数字完全一样的数，即数字对称的数称回文数，如：98789,这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数在自然数中，最小的回文数是0，其次是：1,2,3,4,5,6,7,8, 9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,2 02,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363, 373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535 ,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,70 7,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,8 78,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999, ……等等。

一个回文数，它同时还可能是某一个数的平方，这样的数字叫做平方回数例如：121，12321, …… 等等1000以内的平方回数只有4个，分别是：1、121、484、676其中，1是1的平方；121是11的平方；484是22的平方，同时还是121的4倍；676是26的平方，同时还是169的4倍在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……，如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数如：7+7=14，14+41=55；29+92=121；194+491=685，586+685=1271；1271+1721=2992；……等等这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是“196”，按照上述变换规则重复了数五万次，达到21000位时，仍没有得到回文数目前已有人利用计算机做了上亿次，仍未得到回文数但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数在前10万个自然数中，有5996个数像“196”这样似乎永远也产生不出一个回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。

于是“196”问题，成了世界性的难题在研究回文数的过程中，还发现了回文数的其他一些独特的性质：任意一个数位是偶数的回文数，都是11的倍数如：7711=7、100111=91、544511=495 、31001311=28183两个由相同数字组成的回文数，它们的差必定是81的倍数如：97 79－7997=1782=8122、43234－34243=8991=81111、63136－36163 =26973=81333等另外，个别平方数也是回文数，如：12=1，112=121，1112=12321，11112=1234321，…… 等等还有351=153，621=126，430762=267034，97533=33579，…… 等等像上面这些算式，等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积如果把每个算式中的“”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”还有一些回文算式，等号两边各有两个因数请看：1242=242 1，3486=6843，102402=204201，10124202=20242101，……等等不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如：分别把“1242=2421”等号两边的因数交换位置，得到算式是：4212=2124，这仍是一个回文算式。

还有更奇妙的回文算式，请看：12231=13221（积是2772），124032=230421（积是48384），……等等这种回文算式，连乘积都是回文数四位的回文数有一个特点，就是它决不会是一个质数设它为ab ba，那它等于a1000+b100+b10+a，1001a+110b能被11整除六位的也一样，也能被11整除还有，人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多如：1 12=121，222=484，73=343,113=1331，114=14641，……等等都是回文数3. 相亲数若正整数A的真因数之和等于B，正整数B的真因数之和等于A，则A和B组成的数对称为相亲数，又称亲和数、友爱数约公元9世纪时，阿拉伯数学家本科拉建立了一个有名的相亲数公式：对任意大于1的正整数x，若a = 32x-1、b=32x-1-1、c=922x-1-1都是素数，则2x ab与2x c就是一对相亲数但是这个公式实际计算起来特别复杂，在依靠人工运算的古代，并不能使人们发现更多的相亲数，这个公式也未经验证目前，找到的相亲数已经超过了1000对例如，取x=2时,得a=5,b=11,c=71,则22511=220和2271=284是一对亲和数。

类似地相亲数有1184和1210 2620和2924 5020和55646232和6368 10744和10856 12285和1459517296和18416 63020和76084 66928和6699267095和71145 69615和87633 79750和88730100485和124155 122265和139815 ……目前人们找到的相亲数已经超过了1200对而且所发现的所有相亲数，要么都是偶数，要么都是奇数是否存在一对相亲数，其中有一个奇数，另一个是偶数？至今尚未解决4. 金兰数若三个自然数A、B、C中的每一个数的所有真因数之和都等于另两个数之和，则这三个数称为金兰数如：数组(1328544，1475424，15 20352）1328544＝22222337659,所以1328544的真因数有：2，3，4，6，7，8，9， (664272)1328544所有真因数之和为2995776，等于1475424+1520352；1475424＝222223347109,所以1475424的真因数有：2，3，4，6，8，9，12， (7277122)1475424所有真因数之和为2848896，等于1328544+1520352；1520352＝22222335279,所以1520352的真因数有：2，3，4，6，8，9，12， (760176)1520352所有真因数之和为2803968，等于1328544+1475424。

……目前已发现63组金兰数，都为偶数，目前所知最小的一组是：1328544，1475424，1520352），最大的一组是：5126332688596642188116699172481007616，5162247445196715968163833777951342592，52669988186135978266346430439064862725. 自幂数自幂数是指一个 n 位数，它的每个数位上的数字的 n次幂之和等于它本身例如：当n为3时，有13 + 53 + 33 =153，153即是n为3时的一个自幂数n为3时的自幂数叫水仙花数，又称阿姆斯特朗数n为1时，一位自幂数称为独身数显然，0,1,2,3，4,5,6,7,8,9都是自幂数n为2时，两位自幂数没有n为3时，三位自幂数称为水仙花数有4个：153，370，371，407n为4时，四位自幂数称为四叶玫瑰数（或玫瑰花数），共有3个：16 34，8208，9474n为5时，五位自幂数称为五角星数，共有3个：54748，92727，930 84n为6时，六位自幂数称为六合数，只有1个：548834n为7时，七位自幂数称为北斗七星数，共有4个：1741725，4210818，9800817，9926315。

n为8时，八位自幂数称为八仙数，共有3个：24678050，24678051，88593477n为9时，九位自幂数称为九九重阳数，共有4个： 146511208，912985153，472335975，534494836n为10时，自幂数称为十全十美数，只有1个： 4679307774n为11时，共有8个：32164049650，40028394225，42678290603，49388550606，32164049651，94204591914，4470863567 9，82693916578n为14时，有1个：28116440335967n为16时，有2个： 4338281769391370，4338281769391371n为17时，有2个：35875699062250035，21897142587612075n为19时，有3个：:3289582984443187032，4929273885928088826，449812879116462486 9n为20时，有1个：63105425988599693916n为21时，有2个：4491773991460386。