二阶微分方程解的存在唯一性定理毕业论文.doc

二阶微分方程解的存在唯一性定理I摘要本文通过利用李普希兹条件证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，从而证明二阶微分方程解的存在唯一性定理成立的条件也是李普希兹条件一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，也是常微分方程得以广泛应用的基石一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明，采用的是 Picard 的逐步逼近法，通过对一阶微分方程定理的证明，逐步延伸到二阶或者多阶，并应用的广泛的领域微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展可以预测，随着以来数学为基础的其他学科的发展，微分方程还会继续扩展关键词：常微分方程；李普希兹条件；解的存在唯一性定理二阶微分方程解的存在唯一性定理IIAbstractIn this study, we should prove first-order differential equations through the Lipschitz condition of the existence and uniqueness theorem, then we prove that the second-order differential equations existence and uniqueness theorem is also satisfied Lipschitz conditions. Existence and uniqueness theorem is the theoretical basis of first-order differential, and is also the basis of the application of differential equations and ordinary differential equations. We use the Picard method of successive approximation to complete the proof of the first-order differential equations, and then we can also extend it to the second-order or multi-order, and apply it to other areas. Differential equation is very useful and very attractive, and differential equations will have a greater social development and needs. In the future, with the development of other disciplines, mathematic is used as the basis of other fields, and the differential equation will continue to expand.Keywords: ordinary differential equations; Lipschitz condition; Solutions for the existence and uniqueness theorem二阶微分方程解的存在唯一性定理III目录摘要 ....................................................................................................................IAbstract .............................................................................................................II目录 ..................................................................................................................III第一章 绪论......................................................................................................1第二章 一阶微分方程解的存在唯一性定理..................................................32.1 定理描述..............................................................................................32.2 证明步骤..............................................................................................32.2.1 逐次逼近法证明步骤.......................................................................32.2.2 定理证明过程的命题化...................................................................42.3 应用实例及拓展..................................................................................8第三章 证明二阶微分方程解的存在唯一性定理........................................123.1 定理描述............................................................................................123.2 证明步骤...........................................................................................12第四章 总结....................................................................................................18致谢..................................................................................................................21参考文献..........................................................................................................22外文文献译文..................................................................................................24二阶微分方程解的存在唯一性定理1第一章 绪论常微分方程是一门在数学、物理、天文和工程技术等领域有着广泛应用的重要学科，是数学理论通向实际应用的桥梁之一，因此成为高等学校数学及许多工程技术专业学生必学重要内容。

学好该门课程，对提高科学素养意义重大而一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，也是常微分方程得以广泛应用的基石一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明，采用的是皮卡的逐步逼近法，通过对一阶微分方程定理的证明，逐步延伸到二阶或者多阶，并应用的广泛的领域19 世纪 20 年代，柯西建立了柯西问题00,dyfxyxy解的存在唯一性定理1873 年，德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件” ，对柯西的存在唯一性定理作了改进在是定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚诺和皮卡，他们先后于 1875 年和 1876 年给出常微分方程的逐次逼近吧皮亚诺在仅仅要求 在 点邻域连续,fxy0,的条件下证明柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大的发展，其中基本理论包括：解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性，奇解等等这些问题都是微分方程的一般基础理论问题本文通过利用李普希兹条件证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，从二阶微分方程解的存在唯一性定理2而证明二阶微分方程解的存在唯一性定理成立的条件也是李普希兹条件。

微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展可以预测，随着以来数学为基础的其他学科的发展，微分方程还会继续扩展在积分方程的求解中，逐次逼近法是一种极其有效的方法而皮卡序列在逐次逼近中也发挥了十分重要的作用对皮卡序列的证明及应用做了一定的研究，并对皮卡逐次逼近法给出了一些论述，且将这种方法运用到了其他一些学科的研究中，如数值分析本文主要是通过利用皮卡逐次逼近法证明存在唯一性定理，求解积分方程，对积分方程求近似解同时逐次逼近法也可以应用于近似计算和误差估计二阶微分方程解的存在唯一性定理3第二章 一阶微分方程解的存在唯一性定理2.1 定理描述一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理：定理 1 对一阶微分方程 的柯西问题 ，若,dyfx0,dyfx1函数 在矩形区域 满足：,fxy0,,,Raybai) 在 R 上连续；ii) 在 R 上关于 y 满足 Lipschitz 条件（简称 Lip 条件） ，即存在常数（称为 Lip 常数） 使得对 ，恒有0L12,,xyR成立，则初值问题在区间 上存在唯一1212,,fxyfLy0,xh解 ， ，其中 。

0x,min,a,xyRbhaMf二阶微分方程解的存在唯一性定理42.2 证明步骤2.2.1 逐次逼近法证明步骤第 1 步：证明初值问题 的解 与积分方程1yx， ，在区间 上的连续解0,,yfxyd200xh0,xh等价第 2 步：构造 Picard 逐次逼近函数序列， ，000 1,xnnyxyfd@…00xh证明函数序列 在区间 有定义且连续n0,h第 3 步：证明函数序列 在区间 一致收敛nx0,xh第 4 步：证明 是积分方程 的解limx=2第 5 步：利用 Lip 条件和同一性证明解的唯一性以上证明过程是现今许多教材上的流行思路，其过程复杂，教学难度较大，为分化难点，本文作如下命题化处理2.2.2 定理证明过程的命题化1. 证明过程命题化的意义命题化后的五个命题虽在过程或形式上和五个步骤具有一致性，但命题化后对强调其各步的理论意义具有不可忽视的优势，它更能彰显定理内涵的逻辑层次，同时更有利于分散难点二阶微分方程解的存在唯一性定理5证明该定理的灵魂是对微分方程具有划时代影响的 Picard 逐次逼近法，其迭代序列的构造及收敛性证明有力推动了人们对各种方程的求解探索，典型的思想方法对后继的其他数学分支的产生和发展起了重要催化作用。

对定理证明步骤命题化处理，则有利于突出 Picard 迭代思想的地位与作用2. 五个命题及简。