概率论与理统计课件.ppt
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概率论与数理统计 8/26/20241 u第一章 概率论的基本概念• 1.1 随机试验• 1.2 样本空间• 1.3 概率和频率• 1.4 等可能概型（古典概型）• 1.5 条件概率• 1.6 独立性u第二章 随机变量及其分布• 2.1 随机变量• 2.2 离散型随机变量及其分布• 2.3 随机变量的分布函数• 2.4 连续型随机变量及其概率密度• 2.5 随机变量的函数的分布u第三章 多维随机变量及其分布• 3.1 二维随机变量• 3.2 边缘分布• 3.3 条件分布• 3.4 相互独立的随机变量• 3.5 两个随机变量的函数的分布 2 u第四章 随机变量的数字特征•4.1 数学期望•4.2 方差•4.3 协方差及相关系数•4.4 矩、协方差矩阵u第五章 大数定律和中心极限定理• 5.1 大数定律• 5.2 中心极限定理 u第六章 数理统计的基本概念• 6.1 总体和样本• 6.2 常用的分布3 u第七章 参数估计• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准• 7.3 区间估计 u第八章 假设检验• 8.1 假设检验• 8.2 正态总体均值的假设检验• 8.3 正态总体方差的假设检验• 8.4 置信区间与假设检验之间的关系• 8.5 样本容量的选取• 8.6 分布拟合检验• 8.7 秩和检验u第九章 方差分析及回归分析• 9.1 单因素试验的方差分析 • 9.2 双因素试验的方差分析• 9.3 一元线性回归• 9.4 多元线性回归4 u第十章 随机过程及其统计描述•10.1 随机过程的概念•10.2 随机过程的统计描述•10.3 泊松过程及维纳过程u第十一章 马尔可夫链•11.1 马尔可夫过程及其概率分布•11.2 多步转移概率的确定•11.3 遍历性u第十二章 平稳随机过程•12.1 平稳随机过程的概念•12.2 各态历经性•12.3 相关函数的性质•12.4 平稳过程的功率谱密度5 概 率 论6 关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章 概率论的基本概念7 §1 随机试验Ø确定性现象：结果确定Ø不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象——确定确定——不确定不确定——不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象例： 向上抛出的物体会掉落到地上 打靶，击中靶心 买了彩票会中奖8 研究对象9 概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。
10 概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验 它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例： ü抛一枚硬币，观察试验结果；ü对某路公交车某停靠站登记下车人数；ü对某批电子产品测试其输入电压；ü对听课人数进行一次登记；11 §2 样本空间·随机事件( (一一) )样本空间样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空样本空 间间，记为S={e}， 称S中的元素e为样本点样本点，一个元素的单点集称为基本事件基本事件．．S={0,1,2,…}；S={S={正面，反面正面，反面} }；；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={ x|a≤x≤b }Ø 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：Ø 一枚硬币抛一次Ø 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度yØ 记录一批产品的寿命x12 (二) 随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，简称事件事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件事件A发生发生。
随机事件有如下特征： v任意一事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示； v事件A发生当且仅当A中的某一个样本点出现； v事件A的表示可用集合，也可用语言来表示 13 S={0,1,2,…}；记 A={至少有10人候车}={10,11,12,…} S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生例：观察89路公交车浙大站候车人数，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件基本事件如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件必然事件为方便起见，记Φ为不可能事件不可能事件，Φ不包含任何样本点 14 例：ü记A={明天天晴}，B={明天无雨}ü记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}ü抛两个颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点数奇偶性不同} ，则 SAB(三) 事件的关系及运算事件的关系及运算v事件的关系（包含、相等）15 v 事件的运算SBASABSBAü A与B的和事件，记为ü A与B的积事件，记为ü当AB= AB= Φ时，称事件A A与B B是互是互不相容的，或互斥的。
16 ü“和”、“交”关系式SABSü ü 例：设A A={ 甲来听课 }，B B={ 乙来听课 } ，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}17 概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统” 例： 由n个部件组成的系统，记ü串联系统： ü并联系统：18 §3 频率与概率( (一一) )频率频率 定义：记 其中 —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数称 为A在这n次试验中发生的频率频率Ø某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A={听课迟到}，则 例：Ø中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度频繁程度19 ** 频率的性质：频率的性质： 20 试验序号n =5n =50n =500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率 实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表表 2 222 ** 频率的重要性质：频率的重要性质： 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p23 定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件为事件A A的的概率概率。
(二) 概率 定义1： 的稳定值p定义为A A的概率的概率，记为P(A)=p 24 性质：25 26 27 28 §4 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)称这种试验为等可能概型等可能概型( (或古典概型或古典概型) )29 v例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红球 }，求P(A)． （2）从袋中不放回摸两球， 记B={恰是一红一黄}，求P(B)． 解：(1) 30 （注：当L>m或L<0时，记 ）例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}（k≤D)，求P(Ak)． 解：31 例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球 落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)． 解：n 1 2 N① ②……② 1 2 N①②① 1 2 N①② 1 2 N……即当n＝2时，共有N2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中，总样本点数为Nn，使A发生的样本点数32 33 v 例4：一单位有5个员工，一星期共七天， 老板让每位员工独立地挑一天休息， 求没有两人在同一天休息的概率。
解：将5个员工看成5个不同的球， 7天看成7个不同的盒子， 记A={没有两人在同一天休息 }，则由上例知：34 例5: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b ＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸 一球，不放回地摸n次 解1：① ②…n① ——a① ② …n可以是①号球，亦可以是②号球……是 号球n号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．----------与k无关可设想将n个球进行编号：其中视视 的任一排列为一个样本点的任一排列为一个样本点，，每点出现的概率相等35 解3： 将第将第k k次摸到的球号作为一样本点次摸到的球号作为一样本点此值不仅与k无关，且与 a，b都无关，若a＝0呢？对吗？ 为什么？原原来来这这不不是是等等可可能能概概型型总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个样本点使 发生，①，②，…， nS＝{ }，①，②，…，a{ }{红色}解2：视哪几次摸到红球为一样本点视哪几次摸到红球为一样本点解4：记第记第k k次摸到的球的颜色为一样本点次摸到的球的颜色为一样本点S＝{红色,白色}， 36 例6 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成。
做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了问该女士的说法是否可信？ 37 解假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的在此假设下，每杯奶茶只有两个可能结果为：奶＋茶 或 茶＋奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题10次试验一共有 个等可能的结果若记则 只包含了 个样本点中一个样本点，故38 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理实际推断原理)现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断该女士确实对于奶茶有其“过人之处”39 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?40 生活中的概率学生活中的概率学. 搞笑篇搞笑篇 据说有个人很怕坐飞机．说是飞机上有恐怖分子放炸弹．他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一．百万分之一虽然很小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从来不坐飞机．可是有一天有人在机场看见他，感到很奇怪．就问他，你不是说飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一棵炸弹的可能性是百万分之一，但每架飞机上同时有两棵炸弹的可能性只有百万的平方分之一，也就是说只有万亿分之一．这已经小到可以忽略不计了．朋友说这数字没错，但两棵炸弹与你坐不坐飞机有什么关系？ •41 他很得意的说：当然有关系啦．不是说同时有两颗炸弹的可能性很小吗，我现在自带一颗．如果飞机上另外再有一颗炸弹的话，这架飞机上就同时有两颗炸弹．而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心地去坐飞机． 41 §5 条件概率例 一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）解由题意，样本空间为表示事件“ 至少有一个是女孩”， 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一种， 所以有 在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那么事件发生的概率为 这里 其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的 v 例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为 优质品，从中任取一件， 记A={取到一件合格品}， B={取到一件优质品}。
则 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 记：P(B|A)=95% 1.P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度2.P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度3.由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率分析：分析： BAS若记P(B|A)=x，则应有P(A):P(AB)=1:x解得： 一、条件概率定义：由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质 例如：二、乘法公式当下面的条件概率都有意义时：45 课件待续!8/26/2024 。
