多元函数微分学自测题答案多元函数微分学.docx

多元函数微分学自测题答案多元函数微分学 　　第八章 多元函数的微分学　　本章知识结构导图　　一、基础题　　1、求两点M 1 和M 2 之间的距离.　　2、 求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.　　z =z =ln　　解 要使函数z =必需有1-x 2-y 2≥0，即有x 2+y 2≤1. 故所求函数的定义域为D ={ |x 2+y 2≤1}, 图形为图　　要使函数z =ln 有意义，必需有x +y >0. 故全部函数的定义域为　　D ={ |x +y >0}，图形为图　　图　　图　　、求函数z =　　22 的定义域，并画出其定义域图形．　　解 要使函数表示式有意义，自变量x , y 必需同时满足条件　　⎧1-x 2-y 2>0, ⎧x 2+y 2　　即 ⎨ ⎨22　　⎩y -x >0, ⎩y >x .　　于是所求定义域为D={| x2+y2x2} ． 说明： 求二元函数定义域的方法和求一元函数定义域的方法类似，自变量的取　　值要使解析式有意义，关键限制式函数分母不能为零，对数函数零，偶次根式被开方法非负，及等的限制条件．在画定义域图形不等式写成等式，作出对应边界　　o　　y　　条件是分　　y =x 2x 2+y 2=1　　x　　真数大于三角函数时，要先将曲线图形。

　　图7—1　　然后确定满足不等式的点 在边界曲线的哪一侧，假如某个不等式是严格不等式，则对应边界曲线画成虚线，各不等式限定区域的公共部分就是定义域图形．　　3、. 已知f =x 2y ，求f .　　二、计算题 1、设z =x 3-2x 2y +3y 4，求　　∂z ∂z ∂z ∂z　　，和　　∂y ∂x ∂y ∂x　　解对x 求偏导数，就是把y 看作常量对x 求导数　　对y 求偏导数，就是把x 看作常量对y 求导数　　∂z ∂z　　=-2x 2+12y 3＝3x 2-4xy x =1=-1；　　∂y ∂x y =1　　∂z　　=3x 2-4xy ； ∂x　　∂z　　=-2x 2+12y 3； ∂y　　x =1y =-1　　=-14．　　2、z =e x sin xy , 求　　解　　∂u ∂u , . ∂x ∂y　　∂z　　=e x sin xy +e x cos xy ⋅y =e x , ∂x　　∂z　　=e x cos xy ⋅x , ∂y　　3、设f = y ln ，求f x / .　　解 假如先求偏导数f x " ，再求f x " 显然比较繁杂，能够先求一元函数f ，再求导数f x " . 因f =ln ，因此f x " =　　2x　　. 故f x " =1. 2　　1+x　　4、求函数z =x 3y 2-3xy 3-xy +1的二阶偏导数． 解 因为函数的一阶偏导数为　　∂z ∂z =3x 2y 2-3y 3-y , =2x 3y -9xy 2-x ， ∂x ∂y　　因此所求二阶偏导数为　　∂2z ∂⎛∂z ⎫∂　　= ⎪= =6xy 2， 2∂x ∂x ⎝∂x ⎭∂x　　∂2z ∂⎛∂z ⎫∂　　= ⎪= =6x 2y -9y 2-1。

　　∂x ∂y ∂y ⎝∂x ⎭∂y　　∂2z ∂⎛∂z ⎫∂　　= ⎪= =6x 2y -9y 2-1， ∂y ∂x ∂x ⎝∂y ⎭∂x　　∂2z ∂⎛∂z ⎫∂　　= ⎪= =2x 3-18xy . 2∂y ∂y ⎝∂y ⎭∂y　　5、 求函数z =sin 的全微分. 解 因为因此 dz =　　∂z ∂z　　=cos ，=2y cos , ∂x ∂y　　∂z ∂z　　dx +dy =cos dx +2y cos dy . ∂x ∂y　　6、 设z =u 2ln v ，期中 u = ，v =2x -y ，求　　x　　y ∂z ∂z　　和． ∂x ∂y　　∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1u 22x 2x 2　　解=， +=2u ln v ⋅+⋅2=2ln +2　　∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y v y y　　∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x u 22x 2x 2　　=+=2u ln v ⋅ +⋅ =-3ln -2. ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y y v y y　　7、 设u =f =e　　x 2+y 2+z 2　　2　　, z =x sin y , 求　　∂u ∂x　　和　　∂u . ∂y　　∂u ∂u ∂u ∂z 22x 2+y 2+x 4sin 2y　　=+=2xu +2zu ⋅2x sin y =2x e 解, ∂x ∂x ∂z ∂x　　2242∂u ∂u ∂u ∂z　　=+⋅=2yu +2zu ⋅x 2cos y =2 e x +y +x sin y . ∂y ∂y ∂z ∂y　　8、 设w =f ，求　　∂w ∂w　　和. ∂x ∂y　　解 令u =x +yz ，v =xyz ， 则w =f ，于是　　∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f　　=⋅+⋅=+⋅yz , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v　　∂f ∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f　　=⋅z +⋅xz ． =⋅+⋅　　∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u　　9、设方程z　　x　　=y　　z　　确定函数z =z , 求∂z　　∂z　　． ∂x , ∂y　　x z　　F =z -y 解 方法一 令 ，则　　F x " =z ln z ， F " =-zy　　y　　x　　z -1　　F z " =xz x -1-y z ln y 。

　　z ln z F x " ∂z z x ln z　　因此 =-=z =． x -1　　z ln y -x ∂x F z " y ln y -xz　　F y " z 2∂z zy z -1　　=． =-=x -1　　z　　y ∂y F z " xz -y ln y　　10、 求函数 f =x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.　　⎧f x =3x 2+6x -9=0⎪　　解 令 ⎨，得驻点: , , , ． 2　　f =-3y +6y =0 ⎪⎩y　　A =f xx =6x +6, B =f xy =0, C =f yy =-6y +6, 得B 2-AC =36 .　　列表以下：　　故在点处函数取得极小值f =-5；在点处函数取得极大值　　f =31.　　11、 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元和9元，生产x 单位的产品甲和生产y 单位的产品乙的总费用是　　400+2x +3y +0. 01 元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？　　解 L 表示取得的总利润，则总利润等于总收益和总费用之差，即有　　利润目标函数L = -[400+2x +3y +0. 01]　　=8x +6y -0. 01 -400, 。

　　"=8-0. 01 =0⎧L x　　令⎨，解得唯一驻点.　　"⎩L y =6-0. 01 =0""=-0. 06　　AC -B 2=3. 5⨯10-3>0.　　得极大值L =320. 依据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲和80单位产品乙时所得利润最大320元.。