第6节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式.doc

第第 6 节节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程， 了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知 识 梳 理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1x2) 有两相等实根 x1x2b2a 没有实数根 ax2bxc0 (a0)的解集 x|xx2或xx1 x|xb2a R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 3.(xa)(xb)0 或(xa)(xb)0 型不等式的解集 不等式 解集 ab (xa) (xb)0 x|xb x|xa x|xa (xa) (xb)0 x|axb x|bx0(0(a(a0)的解集为(， a)(a， )； |x|0)的解集为(a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式 ax2bxc0(0(0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0. (2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2.( ) (2)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0.( ) (3)不等式 x2a 的解集为 a， a.( ) (4)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0(a0 时，其解集为 a， a；当 a0 时，其解集为0，当 a0 时，其解集为. (4)若方程 ax2bxc0(a0(a0)的解集为. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(新教材必修第一册 P55T3 改编)已知集合 Ax|x25x40，Bx|x2x60，则 AB( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(3，4) D.(2，4) 解析 由题意知 Ax|1x4，Bx|2x0， 令 3x22x20，得 x11 73，x21 73， 3x22x20 的解集为 ，1 731 73， . 答案 ，1 731 73， 4.(2020 广州期中考试)若不等式 ax2bx20 的解集为x|12x13，则 ab的值是( ) A.10 B.14 C.10 D.14 解析 由题意知，12，13是方程 ax2bx20 的两根，所以1213ba，12132a，解得a12，b2.故 ab10. 答案 A 5.(2019 河北重点中学模拟)不等式 2x2x30 的解集为_. 解析 由 2x2x30，得(x1)(2x3)0， 解得 x32或 x0 的解集为x|x32，或x32，或x1 6.(2019 苏北调研)已知函数 f(x)ax2ax1，若对任意实数 x，恒有 f(x)0，则实数 a 的取值范围是_. 解析 若 a0，则 f(x)10 恒成立， 若 a0，则由题意，得a0，a24a0， 解得4a0，综上，得 a4，0. 答案 4，0 考点一 一元二次不等式的解法 【例 1】 (1)不等式 00，x2x24，即x2x20，x2x60， 解得x2或x1，2x3. 故原不等式的解集为x|2x1，或 2x3. 答案 x|2x1 或 2x3 (2)解关于 x 的不等式 ax222xax(aR). 解 原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0， 解得 x2a或 x1. 当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0. 当2a1，即 a2 时，解得1x2a； 当2a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意； 当2a1，即2a0 时，解得2ax1. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1； 当 a0 时，不等式的解集为x|x2a或x1 ； 当2a0 时，不等式的解集为x2ax1 ； 当 a2 时，不等式的解集为1； 当 a2 时，不等式的解集为x|1x2a. 规律方法 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式. (2)确定判别式 的符号，若 0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若 0，则对应的一元二次方程无根. (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用. 【训练 1】 (1)(2020 武汉月考)不等式1x2x0 的解集为( ) A.2，1 B.(2，1 C.(，2)(1，) D.(，2(1，) 解析 原不等式化为（1x）（2x）0，2x0， 即（x1）（x2）0，x20，解得2a2(aR)的解集. 解 原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a4，x2a3. 当 a0 时，不等式的解集为x|xa3； 当 a0 时，不等式的解集为x|x0； 当 a0 时，不等式的解集为x|xa4. 考点二 一元二次方程与一元二次不等式 【例 2】 已知不等式 ax2bx10 的解集是x|12x13，则不等式 x2bxa0 的解集是_. 解析 由题意，知12，13是方程 ax2bx10 的两个根，且 a0，所以1213ba，12131a，解得a6，b5. 故不等式 x2bxa0 为 x25x60， 解得 x3 或 x2. 答案 x|x3 或 x2 规律方法 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与 x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练 2】 (2019 天津和平区一模)关于 x 的不等式 axb0 的解集是( ) A.(，1)(3，) B.(1，3) C.(1，3) D.(，1)(3，) 解析 关于 x 的不等式 axb0 即 axb 的解集是(1，)，ab0 可化为(x1)(x3)0，解得1x3， 所求不等式的解集是(1，3). 答案 C 考点三 一元二次不等式恒成立问题 多维探究 角度 1 在实数 R 上恒成立 【例 31】 (2020 大庆实验中学期中)对于任意实数 x， 不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2) B.(，2 C.(2，2) D.(2，2 解析 当 a20，即 a2 时，40 恒成立； 当 a20，即 a2 时， 则有a20，2（a2）24（a2）（4）0， 解得2a0，g（1）（x2）x24x40， 解得 x3. 故当 x(，1)(3，)时，对任意的 m1，1，函数 f(x)的值恒大于零. 规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 【训练 3】 (1)(角度 1)(2020 湘潭联考)若不等式 4x2ax40 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是( ) A.(16，0) B.(16，0 C.(，0) D.(8，8) (2)(角度 2)(2019 湖北八校联考)若不等式(aa2)(x21)x0 对一切 x(0，2恒成立，则实数 a 的取值范围为_. (3)(角度 3)若 mx2mx10 对于 m1，2恒成立，则实数 x 的取值范围是_. 解析 (1)由题意知 a24440，解得8a8，故选 D. (2)x(0，2，a2axx211x1x. 要使 a2a1x1x在 x(0，2上恒成立，则 a2a1x1xmax.由基本不等式得 x1x2，当且仅当 x1x，即 x1 时等号成立.则1x1xmax12，故 a2a12，解得a1 32或a1 32.故实数a的取值范围为，1 321 32， . (3)设 g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当 m1，2时，图象为一条线段， 则g（1）0，g（2）0，即x2x10，2x22x10， 解得1 32x1 32， 故 x 的取值范围为1 32，1 32. 答案 (1)D (2)，1 321 32， (3)1 32，1 32 考点四 一元二次不等式的实际应用 【例 4】 甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时可获得利润 1005x13x元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 解 (1)根据题意，得 2005x13x3 000， 整理得 5x143x0，即 5x214x30， 解得 x3 或 x15， 又 1x10，可解得 3x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3，10. (2)设利润为 y 元，则 y900 x 1005x13x 910451x3x2 910431x1626112， 故当 x6 时，ymax457 500 元. 即甲厂以 6 千克/时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大， 最大利润为 457 500 元. 规律方法 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果. 【训练 4】 已知产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y3 00020 x0.1x2，x(0，240).若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 解析 由题设，产量 x 台时，总售价为 25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本， 即 25x3 00020 x0.1x2， 即 0.1x25x3 0000，x250 x30 0000， 解之得 x150 或 x200(舍去). 故欲使生产者不亏本，最低产量是 150 台. 故选 C. 答案 C A 级 基础巩固 一、选择题 1.(2019 福建三明一中月考)不等式(x1)(x2)0 的解集是( ) A.(2，1) B.(，2)(1，) C.(1，2) D.(，1)(2，) 解析 由(x1)(x2)0 得2x1，故选 A. 答案 A 2.不等式x5（x1）22 的解集是( ) A.3，12 B.12，3 C.12，1 (1，3 D.12，1 (1，3 解析 不等式可化为2x25x3（x1）20， 即（2x1）（x3）（x1）20， 解得12x1 或 10 的解集为x|1x2ax 的解集为( ) A.x|2x1 B.x|x1 C.x|0 x3 D.x|x3 解析 由 a(x21)b(x1)c2ax 整理得 ax2(b2a)x(acb)0. 又不等式 ax2bxc0 的解集为x|1x2， 所以 a0，且1，2 是方程 ax2bxc0 的两根， 由根与系数的关系可知 12ba，（1）2ca，。