1999年考研数学一真题及答案.docx

1999 年全国硕士争论生入学统一考试数学一试题一、填空题(此题共5个小题，每题3分，总分值15分把正确答案填写在题中横线上)ç=÷(1) limæ 1 - 1 öx®0 è x2 x tan x ød x第 1 页(2)òdx 0sin(x - t)2dt =(3) y “- 4 y = e2 x的通解为 y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三大事A, B 和C 满足条件：ABC = f , P( A) = P(B) = P(C) <1 , P( A È B È C) = 9 ,则 P( A) =2 16二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分每题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内)(1) 设 f (x) 是连续函数， F (x) 是 f (x) 的原函数，则 ( )(A) 当 f (x) 是奇函数时， F (x) 必是偶函数B) 当 f (x) 是偶函数时， F (x) 必是奇函数C) 当 f (x) 是周期函数时， F (x) 必是周期函数D) 当 f (x) 是单调增函数时， F (x) 必是单调增函数。

ì1- cos x , x > 0xí(2)设 f (x) = ïïîx2g(x), x £ 0其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x = 0 处 ( )(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续(C) 连续，但不行导 (D)可导ìx, 0 £ x £ 1(3)设 f (x) = ï 2 , S (x) = a + å¥ acos np x, -¥ < x < + ¥, 其中í0ï 1 2 nïî2 - 2x,< x < 12n=1a = 2ò 1f (x)cos np xdx,( n = 0,1,2,××× ), 则 S æ - 5 ö 等于 ( )ç ÷n1(A)0 è 2 ø(B) - 12 23(C)(D) - 34 4(4) 设A 是m ´ n 矩阵， B 是n ´ m 矩阵，则(A) 当m > n 时，必有行列式 AB ¹ 0 (B)当m > n 时，必有行列式 AB = 0(C)当n > m 时，必有行列式AB ¹ 0 (D)当n > m 时，必有行列式AB = 0(5) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别听从正态分布N (0,1) 和N (1,1) ，则(A) P{X + Y £ 0}= 1 . (B) P{X+Y £ 1}= 1 .2 2(C) P{X-Y £ 0}= 1 . (D) P{X-Y £ 1}= 1 .2 2三、(此题总分值5分)设 y = y(x)，z = z(x) 是由方程 z = xf (x + y) 和 F (x, y, z) =0所确定的函数，其中 f 和 Fdz分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 。

dx四、(此题总分值(5分)) ( ) ( )求 I = ò2ax-x2Lex sin y - b(x + y)dx +ex cos y - axdy, 其中a,b 为正常数， L 为从点A2a,0沿曲线y= 到点O (0,0) 的弧.五、 (此题总分值6分)设函数 y (x)(x ³ 0)二阶可导，且 y¢(x)> 0 ， y (0)= 1 . 过曲线 y = y (x)上任意一点P (x, y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S ，区间[0, x(]上以 y = y)(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2，并设 2S - S1 21恒为 1 ，求此曲线y = yx 的方程.六、(此题总分值6分) ( )试证：当 x > 0 时， x2 -1 ln x ³ (x -1)2 .七、(此题总分值6分)为去除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，井深30m 30m,抓斗自重400N , 缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥重2023N ，提升速度为3m / s ,在提升过程中，污泥以20N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问抑制重力需作多少焦耳的功？(说明：①1N ´1m = 1J ; 其中m, N , s, J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度无视不计.)八、(此题总分值7分) 设S 为椭球面+ + =x2 y2z2 1 的上半局部，点P (x, y, z) ∈S,π为S 在点P 处的切平面，2 2r (x, y, z) 为点O (0,0,0) 到平面π的距离，求òòS九、(此题总分值7分)pz dS.r (x, y, z)设 a = òn4 tann xdx,0(1) 求å¥n=11 (a n n+ an+2)的值；(2) 试证：对任意的常数λ>0, 级数å¥n=1an 收敛nl第 3 页十、(此题总分值8分)é a -1 c ùê ú第 4 页ú设矩阵 A = ê 5b 3 , 其行列式 A = -1, 又A 的伴随矩阵 A* 有一个特征值l ，属0êë1- c 0 -aúû于l 的一个特征向量为a = (-1,-1,1)T , 求a, b, c 和l0 0的值.十一、(此题总分值6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT 为B的转置矩阵，试证：BT AB 为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r (B)= n .十二、(此题总分值8分)设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的局部数值，试将其余数值填入表中的空白处.YXy1yy23P{X = x }= pi ix 118x2P Y = y = pj{}18161j十三、(此题总分值6分) 设总体X 的概率密度为ïì6x (q - x),0 < x < q f (x) = íq 3ïî0, 其他X , X1, ××× , X2是取自总体X 的简洁随机样本.n( )(1) 求θ的矩估量量q(2) 求q 的方差 D q .参考答案一、(1) 【答案】 1 .3【分析】利用 x ® 0 的等价变换和洛必达法则求函数极限.【解析】ç方法1： limæ 1 -1 ö = lim tan x - xtan xx lim tan x - xx®0x3÷x®0 è x2 x tan x øx®0x2 tan xtan x x lim x2x®0 3x2洛lim sec2 x -1 = lim tan2 x = 1x®03x2x®0 3x2 3方法2： limæ 1 -1 ö = limæ 1 -cos x ö = lim sin x - x cos xç ÷ ç ÷x®0 è x2 x tan x øx®0 è x2x sin x øx®0x2 sin xsin x x lim sin x - x cos x 洛lim cos x - cos x + x sin x = lim sin x = 1x®0 x3x®03x2x®03x 3(2) 【答案】sin x2【分析】欲求外d òb j (x, t)dt ，唯一的方法是作变换，使含有j (x, t) 中的 x “转移”到j 之dx a【解析】令u = x - t ，则dt = -du ，所以有d x d 0 ( ) d xòdx 0sin(x - t)2dt =òdx x-sin u2du =òdx 0sin u2 du = sin x2(3) 【答案】 y = C e-2 x+ æ C+ x ÷ e2 x , 其中C , C为任意常数.ç1 ö1 è 2 4 ø 1 2【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【解析】原方程对应齐次方程 y “- 4 y = 0 的特征方程为： l 2 - 4 = 0, 解得l1= 2, l2= -2 ，故 y “- 4 y = 0 的通解为 y1= C e-2 x1+ C e2 x ,2由于非齐次项为 f (x) = e2 x , 因此原方程的特解可设为 y* = Axe2 x , 代入原方程可求得1 æ 1 öA = ，故所求通解为 y = y4 1+ y*= C e-2 x1+ ç Cè 2+ x ÷ e2 x4ø(4) 【解析】由于æl -1 -1 ... -1 öç -1 l -1l E - A = çøèç ... ...... -1... ...÷÷ (对应元素相减)÷两边取行列式，ç -1-1 ... l -1÷l -1lE - A = -1-1 ... -1l -1 ... -1l - n -1 ... -1把第2，¼，n列加到第1列l - n l -1 ... -1...... ... ...... ... ... ...-1 -1... l -1 l - n-1 ... l -11 -1...-1 2行-1行1 -1 ... -1l提取第1列(- n) 1 l -1 ... -1 3行-1行(l- n) 0l ... 0的公因子= ln-1(l - n)... ... ... ... ... ... ... ...1 -1 ... l -1 n行-1行 0 0 ... l令 lE - A = ln-1(l - n) = 0 ，得l1= n(1重)，l2= 0((。