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应用统计 大工 期末复习综合1 大连理工大学网络教育学院具有以下三个特点的试验称为随机试验： 〔1〕重复性：试验可以在一样的条件下重复进展 随机试验 〔2〕明确性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的全部可能结果 〔3〕随机性：试验之前不能精确预言该次试验将出现哪一种结果 随机试验E的每一个不行再分的结果?，称为一个样本点； 样本点与样本空间 样本点的全体所组成的集合Ω，称为E的样本空间 试验中全部可能出现的根本结果，即最简洁的随机事务，称之为根本事一次试验中可能出现也可能不出件 随机事务 现的事务称为随机事务 样本空间Ω称为势必事务 空集Φ称为不行能事务 概率的定义与性质 统计定义：在一样的条件下重复进展n次试验，假如当n增大时，事务A出现的频率un(A)稳定地在某一常数p旁边摇摆；且一般说来，n越大，摇摆幅度越小，那么n(A) n??n??n公理化定义：设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于试验E的每一个事务A概率的定义 给予一个实数，记为P(A)，假设它满意如下三个条件： 〔1〕对任何事务，都有0?P(A)?1 〔2〕对于势必事务，P(Ω)=1 称常数p为事务A的概率。

这样定义的概率称为统计概率P(A)=limun(A)=lim〔3〕对于随意互不相容事务A1,A2,?An，有P(?Ai)??P(Ai)，那么称P(A)为事务Aii的概率 〔1〕P(Φ)=0 〔2〕对于随意互不相容事务P(?Ai)??P(Ai)，P(A+B)=P(A)+P(B) ii—概率的性质 〔3〕?P(Ai)=1,P(A)=1-P(A) i〔4〕假如B?A，有P(B-A)=P(B)-P(A) 〔5〕P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 2、典型例题解析题型：根本概念、公式与简洁运算例1、计算题：写出以下随机试验的样本空间及以下事务所包含的样本点：掷一颗骰子，出现奇数点解：掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，……，6点，可以记样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，那么“出现奇数点”的事务为{1，3，5} 例2、计算题：口袋里装有假设干个黑球与假设干个白球，每次任取一个球，共抽取两第1页 共6页大连理工大学网络教育学院次，设事务A表示第一次取到黑球，事务B表示其次次取到黑球，用A,B的运算表示以下事务：〔1〕第一次取到白球且其次次取到黑球 〔2〕两次都取到白球〔3〕两次取到球的颜色不相同 〔4〕两次取到球的颜色相同 解：〔1〕第一次取到白球且其次次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且其次次取到黑球，即事务A不发生且事务B发生，可用积事务AB表示〔2〕两次都取到白球，意味着第一次取到白球且其次次也取到白球，即事务A与 B同时不发生，可用积事务AB表示〔3〕两次取到球的颜色不相同，意味着第一次取到黑球且其次次取到白球，或者第一次取到白球且其次次取到黑球，即积事务AB发生或积事务AB发生，可用和事务_____AB+AB表示〔4〕两次取到球的颜色相同，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事务AB发生或积事务AB发生，可用和事务AB+AB表示 ，P(A?B)?0.6。

例3、填空题：设P(A)?0.3______〔1〕假设A和B互不相容，那么P(B)= 〔2〕假设A?B，那么P(B)= 〔3〕假设P(AB)=0.2，那么P(B)=解题思路：依据概率的性质P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6， 〔1〕假设A和B互不相容，那么AB=Φ，P(AB)=0， 因此P(B)=P(A+B)-P(A)=0.6-0.3=0.3 〔2〕假设A?B，那么P(AB)=P(A)， 因此P(B)=P(A+B)-P(A)+P(A)=0.6〔3〕假设P(AB)=0.2，那么P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6-0.3+0.2=0.5 答案：〔1〕0.3；〔2〕0.6；〔3〕0.5附：学问拓展—概率的历史第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺记载在他的著作《0，称P(B|A)?概率的定义 P(AB)为事务A发P(A)概率模型 生条件下，事务B发生的条件概率 事务的独立性：两个事务A与B，假如其中任何一个事务发生的概率不受另外一个事务发生与否的影响，那么称事务A与B是相互独立的，即P(AB)=P(A)P(B) P(A+B)=P(A)+(B)-P(AB) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 加法公式 特殊地，假设事务A1,A2,?An互不相容，那么 P(A1?A2???An)=P(A1)+P(A2)+…P(An) 减法公式 乘法公式 假设A,B为随意两个事务，那么P(B-A)=P(B)-P(AB) 假设A?B，那么P(B-A)=P(B)-P(A) 假设P(A)>0,P(B)>0,那么P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 假如事务A1,A2,?An构成一个完备事务组，且 全概率公式 P(Ai)>0,i=1,2,…,n,那么对于任何一个事务B，有 概率的计算公式 P(B)??P(Ai)P(B|Ai) i?1n假如事务A1,A2,?An构成一个完备事务组，且 贝叶斯公式 P(Ai)>0,i=1,2, …,n,那么对于任何一个事务B，假设P(B)?0,有 第3页 共6页大连理工大学网络教育学院P(Am|B)?P(Am)P(B|Am)?P(A)P(B|A)iii?1n m=1,2…,n 掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，……，6点，可以记样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，那么“出现奇数点”的事务为{1，3，5}。

例2、口袋里装有假设干个黑球与假设干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事务A表示第一次取到黑球，事务B表示其次次取到黑球，用A,B的运算表示以下事务：〔题型1〕〔1〕第一次取到白球且其次次取到黑球 〔2〕两次都取到白球〔3〕两次取到球的颜色不相同 〔4〕两次取到球的颜色相同 解：〔1〕第一次取到白球且其次次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且其次次取到黑球，即事务A不发生且事务B发生，可用积事务AB表示〔2〕两次都取到白球，意味着第一次取到白球且其次次也取到白球，即事务A与B同时不发生，可用积事务AB表示〔3〕两次取到球的颜色不相同，意味着第一次取到黑球且其次次取到白球，或者第一次取到白球且其次次取到黑球，即积事务AB发生或积事务AB发生，可用和事务_____AB+AB表示〔4〕两次取到球的颜色相同，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事务AB发生或积事务AB发生，可用和事务AB+AB表示例3、罐中有12粒围棋子，其中8粒白子，4粒黑子，从中任取3粒，求(题型2) 〔1〕取到的都是白子的概率〔2〕取到两粒白子，一粒黑子的概率 〔3〕至少取到一粒黑子的概率〔4〕取到的3粒棋子颜色一样的概率 解：设A表示“取到的都是白子”，B表示“取到两粒白子，一粒黑子”，C表示“至少取到一粒黑子”，D表示“取到的3粒棋子颜色一样”。

根本事务总数n=C12(1)因为3粒棋子都从8粒白棋中取得，A包含的根本事务数为C8，那么P(A)=33______CC383=1214 55第4页 共6页大连理工大学网络教育学院214(2)B包含的根本事务数为C8C4，那么P(B)=C8C=321C1228 55(3)因为3粒棋子中至少有一粒黑子，那么这三粒棋子的颜色有三种可能：一种是一粒黑子，两粒白子；一种是两粒黑子，一粒白子；一种是三粒都是黑子，故C包含的 ?4C8?C44112213根本事务数为C4C8+C4C8+C4，那么P(C)=C4C8C= 35512213C_12或者由于各事务的关系可看出，C=A,所以P(C)=P(A)=1-P(A)=1- _1441= 555533(4)取到的3粒棋子颜色一样，要么全是白的，要么全是黑的，共有C8+C4种取 ? 153法，故P(D)=C83C4== 551133C12例4、甲、乙二人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7〔题型3〕〔1〕求目标被命中的概率〔2〕假设确定目标被命中，求它是甲射中的概率解：设A1表示“甲命中目标”，A2表示“乙命中目标”，B表示“目标被命中”，所求概率为P(B)和P(A1|B)确定P(A1)=0.6，P(A2)=0.7，因A1与A2相互独立，利用事务之间的运算，B=A1+A2〔或写成B=A1?A2〕表示事务A1与A2至少有一个发生。

又利用加法公式，P(B)=P(A1)+(A2)-P(A1A2)，那么〔1〕P(B)=P(A1)+(A2)-P(A1A2)=P(A1)+(A2)-P(A1)P(A2) =0.6+0.7-0.6?0.7=0.88又因A1?B，那么 〔2〕P(A1|B)=P(A1B)P(A1)0.615=== P(B)0.8822P(B)例5、设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，此时此刻从由A和B的产品分别是60%和40%的产品中随机抽取一件，发觉是次品，那么该次品属于A生产的概率是多少？〔题型4〕解：该次品可能是A生产的也可能是B生产的，工厂A和工厂B的产品的次品率都第5页 共6页大连理工大学网络教育学院确定产品可能是A生产的也可能是B生产的，构成样本空间的一个划分随机抽取一件，发觉是次品，求该次品属A生产的概率实际是由结果来求缘由发生的概率，用贝叶斯公式设事务C为“产品是次品”，事务A为“产品属A生产”，事务B为“产品属B生产”，因为P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(C|A)?0.01,P(C|B)?0.02由全概率公式，有P(C)?P(A)?P(C|A)?P(B)?P(C|B)?0.014 又由贝叶斯公式，有P(A|C)?P(A)?P(C|A)P(C)说明：由结果来求缘由发生的概率，用贝叶斯公式解决此类问题。

此题的计算结果说明：工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，但从由A和B的产品分别占60%3和40%的产品中随机抽取一件，发觉是次品，该次品属A生产的概率变为，该次品属74B生产的概率变为P(C|A)的意思是在属A生产的产品中发觉次品的概率，正好是A7产品的次品率，所以不能混淆P(A|C)和P(C|A)，否那么只会得出错误的结果第6页 共6页本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页。