数学最小二乘法的应用举例.ppt

第八章 * *第十节第十节问题的提出问题的提出: 已知一组实验数据求它们的近似函数关系 y＝f (x) .需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型• 根据数据点的分布规律• 根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小二乘法最小二乘法 • 偏差有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式经验公式 ., 它们大体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b 令满足:使得解此线性方程组即得 a, b称为法方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解解: 通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为(P67 例1)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 得法方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0机动 目录 上页 下页 返回 结束 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: 称为均方误差, 对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003－0.021 0.086 0.093 －0.200 称为均方误差, 对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003－0.021 0.086 0.093 －0.200 例例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据:57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻  反应 物的量. 试根据上述数据定出经验公式(P70例2) 解解:由化学反应速度的理论知, 经验公式应取其中k , m 为待定常数. 对其取对数得(线性函数)(书中取的是常用对数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 a , b 应满足法方程组: 经计算得 解得: 所求经验公式为其均方误差为机动 目录 上页 下页 返回 结束 观测数据:用最小二乘法确定a, b 通过计算确定某些经验公式类型的方法通过计算确定某些经验公式类型的方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 (习题8 -10 ) P72 1 , 2习题课 目录 上页 下页 返回 结束 。