新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训压轴题突破练4 （含解析）.doc

压轴题突破练41．已知圆E与圆F：(x－2)2＋y2＝1相外切，且与直线x＋1＝0相切．(1)记圆心E的轨迹为曲线G，求G的方程；(2)过点P(3,2)的两条直线l1，l2与曲线G分别相交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的斜率之积等于1，求证：直线MN经过定点．(1)解　依题意得|EF|等于E到直线x＋2＝0的距离，故所求轨迹是以F(2,0)为焦点，以x＝－2为准线的抛物线．故其轨迹曲线G的方程为y2＝8x.(2)证明　依题意直线l1，l2的斜率都存在且均不为0，故设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为.直线AB的方程为y－2＝k(x－3)，即为y＝k(x－3)＋2.由消去x整理得ky2－8y－24k＋16＝0，依题意Δ>0，所以yA＋yB＝，yA·yB＝－24＋，所以xA＋xB＝－＋6，所以点M的坐标为，以代替点M坐标中的k，可得点N的坐标为(4k2－2k＋3,4k)，所以直线MN的斜率为kMN＝＝，所以直线MN的方程为y－4k＝·[x－(4k2－2k＋3)]，即y＝x＋1.故MN经过定点(－1,0)．2．(2020·泰安模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：f′(x1x2)<1－a.(1)解　由题意，可得a＝，转化为函数g(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，g′(x)＝(x>0)，故当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1.又g＝0，故当x∈时，g(x)<0，当x∈时，g(x)>0.可得a∈(0,1)．(2)证明　f′(x)＝－a，由(1)知，x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根，故ln x1－ax1＋1＝0，ln x2－ax2＋1＝0⇒a＝，要证f′(x1x2)<1－a，只需证x1x2>1，即证ln x1＋ln x2>0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，即证a>，即证>.不妨设00，则h(t)在(0,1)上单调递增，则h(t)