
湖南省永州市新第一中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析.docx
7页湖南省永州市新第一中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知点P为双曲线右支上一点,分别为双曲线的左右焦点,且,I为三角形的内心,若成立,则的值为( )A. B. C. D.参考答案:D2. 函数的图像的一条对称轴是( ) A. B. C. D.参考答案:B略3. 已知全集U={1,2,3,4,5},A∩?UB={1,2},?U(A∪B)={4},则集合B为( )A.{3} B.{3,5} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5}参考答案:B【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.【分析】利用已知条件求出A∪B,通过A∩?UB={1,2},即可求出B.【解答】解:全集U={1,2,3,4,5},?U(A∪B)={4},可得A∪B={1,2,3,5}∵A∩?UB={1,2},∴A={1,2,3},则B={3,5}.故选:B.【点评】本题考查集合的基本运算,交、并、补的求法,考查计算能力.4. 已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( )A. B.C. D.参考答案:D【考点】椭圆的标准方程.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2, ==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选D.5. 集合,,将集合中的所有元素排成一个递增数列,则此数列第68项是 ( )A、464 B、466 C、468 D、666参考答案:A略6. 若复数满足,则的值为( )A.-3 B.-4 C.-5 D.-6参考答案:C7. 设i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数=( )A.﹣1﹣3i B.1﹣3i C.﹣1+3i D.1+3i参考答案:C【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,则z的共轭复数可求.【解答】解:z==,则=﹣1+3i.故选:C.8. 已知,分别是双曲线:()的左右两个焦点,若在双曲线上存在点使,且满足,那么双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D. 参考答案:A9. 已知是正四面体(所有棱长都相等的四面体),是中点,是上靠近点的三等分点,设与、、所成角分别为、、,则( )A. B. C. D. 参考答案:D10. 等差数列的前项和为,如果,,那么等于( ). A. B. C. D.参考答案:C∵,,∴,∴,,.故选.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数x,y满足条件,则函数z=x+5y的最大值为 .参考答案:4【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用.【分析】作出平面区域,解出点A的坐标,代入求最大值.【解答】解:作出平面区域如图:则过点A时函数z=x+5y有最大值,由解得,x=,y=,则函数z=x+5y有最大值为+5×=4.【点评】本题考查了线性规划,及学生的作图能力,属于基础题.12. 给出下列命题: ①,使得; ②曲线表示双曲线; ③的递减区间为 ④对,使得 其中真命题为 (填上序号)参考答案:①③13. 若正实数满足,且不等式恒成立,则实数的取值范围是 .参考答案:14. (不等式选做题)不等式≥的解集为 .参考答案:略15. (5分)设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M?D),有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的“l高调函数”.现给出下列命题:①函数f(x)=2x为R上的“1高调函数”;②函数f(x)=sin2x为R上的“A高调函数”;③如果定义域为[﹣1,+∞)的函数f(x)=x2为[﹣1,+∞)上“m高调函数”,那么实数m的取值范围是[2,+∞);其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)参考答案:①②③对于①,函数f(x+l)=2x+l,f(x)=2x,要使f(x+l)≥f(x),需要2x+l≥2x恒成立,只需l≥0;即存在l使得f(x+l)≥f(x)在R恒成立,∴函数f(x)=2x是R上的1(l≥0)高调函数,故①正确;对于②,∵sin2(x+π)≥sin2x,∴函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数,故②正确;对于③,∵如果定义域为[1,+∞)的函数f(x)=x2为[﹣1,+∞)上m高调函数,只有[﹣1,1]上至少需要加2,实数m的取值范围是[2,+∞),故③正确,综上,正确的命题序号是①②③.故答案为:①②③16. 设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体编号为__________.第1行第2行参考答案:由题意,从随机数表第行的第列数字开始,从左到右依次选取两个数字的结果为,,,,,,,故选出来的第个个体编号为.17. 在曲线xy=1上,横坐标为的点为An,纵坐标为的点为Bn,记坐标为(1,1)的点为M,Pn(xn,yn)是△AnBnM的外心,Tn是{xn}的前n项和,则Tn= .参考答案:考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列.分析:由已知可得An,Bn,则线段AnBn的垂直平分线为y=x.可得线段AnM的垂直平分线为:=,把y=x代入解得xn.再利用“裂项求和”即可得出.解答: 解:由已知可得An,Bn,则线段AnBn的垂直平分线为y=x.线段AnM的垂直平分线为:=,把y=x代入解得xn=2+.∴{xn}的前n项和Tn=2n++…+=2n+=2n+=.故答案为:.点评:本题考查了线段的垂直平分线及其性质、三角形的外心、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(I)求角A;(Ⅱ)若a= 15,b=10,求cos B的值参考答案:19. 设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|,(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≥3;(2)如果x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.参考答案:【考点】R2:绝对值不等式.【分析】(1)当a=﹣1,原不等式变为:|x﹣1|+|x+1|≥3,下面利用对值几何意义求解,利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3,从而得到不等式解集.(2)欲求当x∈R,f(x)≥2,a的取值范围,先对a进行分类讨论:a=1;a<1;a>1.对后两种情形,只须求出f(x)的最小值,最后“x∈R,f(x)≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果.【解答】解:(1)当a=﹣1时,f(x)=|x﹣1|+|x+1|,由f(x)≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解,|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义,是数轴上表示实数x的点距离实数1,﹣1表示的点距离之和不小3,由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3,所以所求不等式解集为(﹣∞,﹣]∪[,+∞)(2)由绝对值的几何意义知,数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立,则1与a之间的距离必大于等于2,从而有a∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)【点评】本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想.20. 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)确定乙答题所得分数的可能取值,求出相应的概率,即可得到乙得分的分布列和数学期望;(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选,求出甲、乙入选的概率,利用对立事件,即可求得结论.【解答】解:(Ⅰ)设乙答题所得分数为X,则X的可能取值为﹣15,0,15,30.; ;; . …乙得分的分布列如下:X﹣1501530P. …(6分)(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选,记甲入选为事件A,乙入选为事件B.则,…(8分). …(10分)故甲乙两人至少有一人入选的概率. …(12分)【点评】本题考查概率的计算,考查互斥事件的概率,考查离散型随机变量的分布列与期望,确定变量的取值,计算其概率是关键.21. (18分)对于曲线C:f(x,y)=0,若存在最小的非负实数m和n,使得曲线C上任意一点P(x,y),|x|≤m,|y|≤n恒成立,则称曲线C为有界曲线,且称点集{(x,y)||x|≤m,|y|≤n}为曲线C的界域.(1)写出曲线(x﹣1)2+y2=4的界域;(2)已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3,曲线M是否为有界曲线,若是,求出其界域,若不是,请说明理由;(3)已知曲线C上任意一点P(x,y)到定点F1(﹣1,0),F2(1,0)的距离之积为常数a(a>0),求曲线的界域.参考答案:考点:曲线与方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)由已知得(x﹣1)2≤4,y2≤4,由此能求出曲线(x﹣1)2+y2=4的界域.(2)设P(x,y),则+|x﹣1|=3,从而得到﹣1≤x≤2,﹣2,由此得到曲线M为有界曲线,并能求出求出其界域.(3)由已知得:=a,×=a,从而得到|x|,,进而得到|y|≤,由此能求出曲线C界域.解答: 解:(1)∵曲线(x﹣1)2+y2=4,∴(x﹣1)2≤4,y2≤4,。












