人教版 高中数学 选修23 学案2.1.2 离散型随机变量的分布列.doc

2019人教版精品教学资料·高中选修数学2.1.2　离散型随机变量的分布列1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)[基础·初探]教材整理1　离散型随机变量的分布列阅读教材P46～P47例1上面倒数第二行，完成下列问题．1．定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．2．性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1.　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　)(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．(　　)(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(　　)【解析】　(1)×　因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)×　因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(3)√　由分布列的性质可知，该说法正确．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√教材整理2　两个特殊分布阅读教材P47例1上面倒数第一行～P49，完成下列问题．1．两点分布X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mP…如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.【解析】　设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有个，总数为个．∴分布列为ξ123PP＝P(ξ＝1)＝.【答案】　2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】　P(X＝3)＝＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　 解惑：　 疑问2：　 解惑：　 疑问3：　 解惑： [小组合作型]分布列及其性质的应用　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P.【精彩点拨】　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，0，即a>，故a≠－2.所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.所以随机变量X的分布列为：X01P求离散型随机变量的分布列　口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【精彩点拨】　X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】　随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.从而有P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，所以随机变量X的分布列为X3456P1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.(3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．[再练一题]2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．【解】　从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X＝1；当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；当取到2黑时，X＝4.则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.从而得到X的分布列如下：X－2－10124P[探究共研型]两点分布与超几何分布探究1　利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】　这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2　只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】　不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X25P0.30.7X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.探究3　在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】　随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【精彩点拨】　(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为X01P(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．[再练一题]3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】　设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，P(X＝11)＝＝.故X的分布列为X3711P[构建·体系] 1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,3，则a的值为(　　)A．1　　　 B.　　　C.　　　 D.【解析】　由分布列的性质可知：a＝1，解得a＝.【答案】　C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　) 【导学号：97270034】A．0 B. C. D.【解析】　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.故P(ξ＝0)＝1－p＝.【答案】　B3．随机变量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝__。