第五章微分中值定理及应用.doc

第五章 微分中值定理及应用§1 微分中值定理1．证明：（1）方程（是常数）在区间内不可能有两个不同的实根；（2）方程（为正整数，为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根2．设为正整数，，则存在，使3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）（2）等号成立当且仅当；（3）（4）（5）4．设函数在点具有连续的二阶导数，证明5．设，求证：任意，有6． 函数在可导，其中，证明：存在，使得7．设在上可导，且求证：存在，使8．设可导，求证：在两零点之间一定有的零点.9．设函数在附近连续，除点外可导，且，求证：存在，且.10．若在可导，且，为介于和之间的任一实数，则至少存在一点，使.11．设函数在内可导，且单调，证明在连续.12．若函数，和在连续，在可导，证明存在，使得.13．设在连续，且，证明：在上取到它的最小值.14．设在连续，.（1）若存在，使，则在上达到最大值；（2）如果存在，使，能否断言在上达到最大值？15．设在有界，存在，且.求证.16．求证：.§2 微分中值定理及其应用1．求下列待定型的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）2．对函数在上应用拉格朗日中值定理有试证对下列函数有：（1）（2）3．设二阶可导，求证：4．下列函数不能用洛必达法则求极限：（1）（2）（3）（4）§3 函数的升降、凸性和函数作图1．应用函数的单调性证明下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）2．确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4．设（1）证明：是函数的极小值点；（2）说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.5．证明：若函数在点处有，则为的极大值点.6．设在处都取的极值，试定出和的值；并问这时在和是取得极大值还是极小值；(1) 求函数在上的极值；(2) 求方程有两个正实根的条件.8.设，在实轴上连续可微，且求证：的两实根之间一定有的根.9.确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）（2）（3）（4）10.证明曲线有位于同一直线上的三个拐点.11.问，为何值时，点为曲线的拐点？12.证明：(1) 若为下凸函数，为非负实数，则为下凸函数；(2) 若、均为下凸函数，则为下凸函数；(3) 若为区间上的下凸函数，为上的下凸递增函数，，则为上的下凸函数.13.设为区间上严格上凸函数，证明：若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点.14.应用下凸函数概念证明如下不等式：(1) 对任意实数有(2) 对任何非负函数有.15.如何选择参数，方能使曲线在（为给定的常数）处有拐点.16.求的极值及拐点，并求拐点处的切线方程.17.作出下列函数的图形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）.§4 函数的最大值最小值问题1．求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）（2）（3）（4）（5）2．给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.3.设用某仪器进行测量时，读得次实验数据为问以怎样的数值表达所要测量的真值，才能使它与这个数之差的平方和为最小.4.求内接于椭圆而边平行于坐标轴的面积最大的矩形.5.点到抛物线最短距离.6.做一个圆柱形锅炉，已知起容积为，两端面材料的每单位面积价格为元.侧材料的每单位面积价格为元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省？7.某村计划修建一条断面面积为的梯形渠道，侧面的坡度为（即底边与斜高间夹角满足），底边与斜高为多长时湿周最小.（根据经验，湿周最小时渠道过水能力最大.）8.设炮口的仰角为，炮弹的初速为，炮口取作原点，发炮时间取作，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为：若初速不变，问如何调整炮口的仰角，使炮弹射程最远.。