寒假专题——常见递推数列通项公式的求法.docx

k 1 k 1an (a1∴bm寒假专题——常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点：递推关系的几种形式2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题典型例题】[例 1] an 1（ 1 ） k（ 2 ） k比较系数：{ an ∴an ∴kan b 型1时， an 1 an b { an} 是等差数列，1时，设 an 1 m k (an m) ∴ anbkm m b ∴ k 1k 1 是等比数列，公比为 k ，首项为 1} ab ( a1 b ) k n 1an b n ( a1 b)1 kan km mk 1bk 1b ) kn 1b k 1[例 2] an 1（ 1 ） k例：已知解：an 1 ∵an ∴kan f (n) 型。

1 时， an 1 an{ an} 满足 a1 1，an 1 anf ( n) ，若 f (n) 可求和，则可用累加消项的方法1n(n 1) 求{ an} 的通项公式aann 1an 1 an 21 1 1n(n 1) n n 11 1 1 1n 1 n n 2 n 1nn1an 2Bn1q q1得 q1 2n 1a1 an3aankan 2 ana3 a2对这（ n（ 2 ） k ∴ an 131n1 12 313 n 2 ……a2 a1 11）个式子求和得：1时，当 f (n) an b kan ( k 1) An (k12a1 1则可设 an 11) B A1∴ nA(n 1) B k( an An B)∴∴∴(k 1)A a (k 1) B A b{ an An B} 是以an An B (a1∴ an (a1 A B)（ 3 ） f ( n) q n （ qA解得：a1 A BA B) kk n 1 An0， 1）a k 1 ，Bb ak 1 (k 1) 2为首项， k 为公比的等比数列n1将 A 、 B 代入即可等式两边同时除以 q令 Cn qn 则 Cn 1 [例 3] an 1 f (n) an 型。

an 1 k an 1n 1 q q n qCn ∴ {C n} 可归为 an 1 kan b 型（ 1）若 f ( n) 是常数时，可归为等比数列 2）若 f ( n) 可求积，可用累积约项的方法化简求通项例：已知： ， 2n 1 an 1 （ n 2 ）求数列 { an} 的通项an a1k3*32n 1n 1 n 1an an 1 an 2 a3 a2 2n 1 2n 3 2n 5 5 3解： an 1 an 2 an 3 a2 a1 2n 1 2n 1 2n 3 7 53∴ 2n 112n 1[例 4]an km an 1m an 1 型。

1考虑函数倒数关系有 anan 1 m1 1k ( )∴Cn令1an 则{ Cn} 可归为 an 1 kan b 型1 1 kan an 1 m练习：1. 已知 { an} 满足 a1解：设 an 1 m 2(an， an 1 2an 1 求通项公式m) an 1 2an m ∴ m 1∴ { an 1 1} 是以 4 为首项， 2 为公比为等比数列∴ an 1 4 2 ∴ an 2 12. 已知 { an} 的首项 a1 1 ， an 1 an 2n （ n N ）求通项公式 解：an an 1 2(n 1)an 1 an 2 2(n 2)an 2 an 3 2(n 3) ……a3 a2 2 2a2 a1 2 1an a1 2[1 2 ( n 1)] n2 n42 21 1n 2 21n 12 21 12 3n1 2 3 n( n 1)∴ an n2 n 13. 已知 { an} 中， an 1 n 2 an 且 a1 2 求数列通项公式。

解：an an 1 an 2 a3 a2 n 1 n 2 n 3 n 4 2an 1 an 2 an 3 a2 a1 n 1 n n 1 n 2 4an 2∴ a1 n(n4. 数列 { an} 中，解：a1)n 1∴2n 2na1n 12n 1 an2n 1 an ∴an n(n 1)1 an1 an ， a1 2 ，求 { an} 的通项1 1 1an 1 an 2n 1bn设bn ∴ba1nn 1bn 1 bn 2bn 2 bn 3b3 b2b2 b1231212bn b1∴ 2122nnbn 1 bn n 11n21112 ……∴bn bn 11n 22 [ 1 ( 1 )n 1 ]1 12 2设∴ 2 ∴23nan 2S{ 1 }an 4n2bn ∴121。