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第一讲：平方根与立方根【知识要点】平方根立方根n次方根定义 及表示方法若，则就叫做的平方根（也叫做二次方根）记为±，其中表示正的平方根，叫做的算术平方根，读作“根号”；－表示负的平方根 若，则就叫做的立方根（也叫做三次方根）记为“”，读作“三次根号” 如果一个数的次方等于，即，那么这个数x就叫做的次方根.①当为偶数时，记为±；②当为奇数时，记为 ，读作“次根号”基本性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②负数的没有平方根；③零有一个平方根，它是零本身①任意数都只有一个立方根；②正数有一个正的立方根；③负数有一个负的立方根；④零的立方根是零．1 ①正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；②负数没有偶次方根；③任何实数的奇次根有且只有一个，且与同正负④0的任何次方根都为0求次方根及其小数点移动规律求一个数的平方根的运算，叫做开平方，如果被开方数的小数点向左（向右）移动两位，则它的平方根小数点就相应地向右（或向左）移动一位 求一个数的立方根的运算叫开立方，如果被开方数的小数点向左（或向右）移动三位，则立方根的小数点向右（或向左）移动一位 求一个数的次方根的运算叫开次方，如果被开方数的小数点向左（或向右）移动n位，则立方根的小数点向右（或向左）移动一位。

典例解析】知识点一：平方根和算术平方根的求法例：求下列各数的平方根与算术平方根；变式训练：.知识点二：平方根性质的应用例：下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根；如果没有，说明理由1）； （2）； （3）0； （4）变式训练：某数的平方根是和，求这个数知识点三：立方根定义的识别和立方根的求法例：求下列各数的立方根（1）； （2）； 变式训练：求的立方根知识点四：平方根与立方根的综合应用例：已知的立方根是3，求的平方根与算术平方根变式训练：1、已知是的立方根，而是的算术平方根，求 的平方根2、已知， （1）求、、的值 （2）若，，求，的值知识点五：算术平方根的非负性质的应用例：为何值时，下列各式有意义（1） （2）变式训练：1、已知实数、满足，求的值2、已知x、y为实数，且，求的平方根【课堂练习】 1．一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的平方根为 2．如果的平方根是等于±2，则= 3．如果，那么a的取值范围为 。

4．= ，若则= . 5．若且,则的值是（ ）A、-2 B、4 C、-1或-5 D、±2或±4 7．若a是的平方根，则=( )A、-3 B、 C、± D、±3 8.若则xy的值等于（ ）A、-6 B、-2 C、2 D、69.求下列各式中的取值范围1） （2）10.是的整数部分，是的整数部分，则＝____________11.与互为相反数，求ab的值12.已知，且求的值13.求值： 28、求值：【巩固练习】1．计算下列各题： （1）； （2）2．已知=45，求的算术平方根3.解方程 （1） （2） 4．已知=，， 求（1）、、的值 （2）若，，，求x、y、z的值5．已知，求的值。

6.甲乙二人计算+的值，当的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a+=+=乙的解答：a+=+==哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？第二讲：实数【知识要点】一、实数：有理数和无理数统称为实数1、实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类 2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为3、实数与数轴上点的关系： 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示4、实数的运算： （1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用 （2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被开方数1、二次根式的性质： （1）；（2）； 2、最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母 （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式4、二次根式的运算：（1）．二次根式的运算法则： ； ； ； ；（2）．分母有理化（3）．二次根式的混合运算三、非负性及应用：1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下： ①若a是实数，则； ②若a是实数，则（n为正整数），当n=1时，a2≥0； ③（n为正整数）在实数范围内有意义，则，此时；3、非负数有如下性质： ①有限个非负数之和是非负数；②有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零 【典例解析】知识点一：无理数的识别与估算方法例：实数3.14，，，，，0.10110111011110…，π，中，哪些是有理数，哪些是无理数？变式训练：1、估算的值（ ）A．在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间知识点二：实数的大小比较方法例：较大小：7__________（填“”“”或“” ）变式训练：1、已知，，则、的大小关系为_________2、比较大小：当实数时，_______.（填“”或“” ）知识点三：实数有数轴的关系例：右图：数轴上点A表示的数为x，则x2－13的立方根是（ ）A.－13 B.－－13 C.2 D.－2知识点四：数的运算例：；变式训练：1、。

2、；3、； 知识点五：实数性质的使用例：化简： ；变式训练：1、 实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0；a＋b__________0；－｜b－a｜________0；｜2a｜－｜a＋b｜＝________ 变式训练：图1-4大学生购买手工艺制品目的1、已知，求的值据调查，大学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心2、已知的整数部分为，小数部分为，则=________【课堂检测】上述所示的上海经济发展的数据说明：人们收入水平的增加，生活水平的提高，给上海的饰品业带来前所未有的发展空间，为造就了一个消费额巨大的饰品时尚市场提供了经济基础使大学生对DIY手工艺品的时尚性消费，新潮性消费，体验性消费成为可能1、在中，属于有理数的是 _____属于无理数的是 ___2、（1） ； 2003年，上海市总人口达到1464万人，上海是全国第一个出现人口负增长的地区 （2） 因为是连锁店，老板的“野心”是开到便利店那样随处可见。

所以办了积分卡，方便女孩子到任何一家“漂亮女生”购物，以求便宜再便宜 （3）若= 据统计，上海国民经济持续快速增长03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点 （4）计算 3、比较大小（1） （2） 4、下列语句中正确的是（ ） A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽； B．8的立方根是±2； C．绝对值等于的实数是； D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应 5、与相乘，结果为1的数是（ ） A． B． C． D．6、下列计算正确的是（ ）１９９６年“碧芝自制饰品店”在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四通八达，由于位于市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量的问题迪美有３００多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼梯阶而上就是人民广场中央，周边４、５条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的９０％的顾客会因为好奇而进去看一下。

A B C.D．7、数轴上表示实数的点在表示的点的左边，则式子的值是（ ）中式饰品风格的饰品绝对不拒绝采用金属，而且珠子的种类也更加多样 五光十色的水晶珠、仿古雅致的嵌丝珐琅珠、充满贵族气息的景泰蓝珠、粗糙前卫的金属字母珠片的材质也多种多样 A．正数 B．-1 C．小于-1 D．大于-1精明的商家不失时机地打出“自己的饰品自己做”、“DIY(Do It Yourself)饰品、真我个性”的广告，推出“自制饰品”服务，吸引了不少喜欢标新立异、走在潮流前端的年轻女孩，成为上海的时尚消费市场其市场现状特点具体表现为：8、化简，甲、乙两同学的解法如下：甲：； 乙：，对于他们的解法，正确的是（ ） A．甲、乙的解法都正确 B．甲正确、乙不正确10元以下□ 10～50元□ 50～100元□ 100元以上□C．甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确 9、计算或化简：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）已知，求（6）已知的值10、已知y=+18,求代数式的值11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答问题：， ；， ；， ；……（1）请用含的（为正整数）的等式表示上述变化的规律；（2）推算出 ， ； ， ；（3）求出的值。