数学中概率问题的讨论.doc

数学中概率问题的讨论摘 要: 本文对中学数学中事件概率的两种求解方法、概率中容易出错的若干问题以及概率与其它数学知识的结合进行了讨论.关键字: 概率; 互斥事件; 独立事件; 对立事件概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支.在自然界和人类社会中存在着大量的随机现象.概率论最初是从研究掷骰子等赌博中的简单问题开始的,如今在高能物理学、天文学、化学反应动力学、生物数学等学科中有着广泛的应用.概率论的发展说明了理论与实际之间的密切联系.随着中学数学教材改革的逐步深入,概率统计已经成为中学数学教材的重要组成部分,为了深入浅出地学好这部分内容,有必要对中学数学中概率的相关问题进行深入探究.1 与概率相关的若干概念1.1 随机现象 在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.1.2 确定性现象 只有一个结果的现象称为确定性现象.1.3 事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,简称事件.1.4 基本事件 样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件.1.5 对立事件 由在样本空间中而不在中的样本点组成的新事件叫做事件的对立事件.1.6 频率[1] 在次重复试验中,记为事件出现的次数,又称为事件的频数,称为事件出现的频率.1.7 概率[1] 随着试验重复次数的增加,频率会稳定在某一个常数附近,我们称这个常数为事件的概率.1.8 独立事件 如果,则称事件与相互独立.2 求事件概率的两种方法2.1 古典方法如果某样本空间满足:(1)样本空间样本点只有有限个,不妨设为个并记他们为.(2)每个样本点出现的可能性是相等的,即有.通常就称这种模型为古典概率模型.若中含有个样本点,则事件的概率的计算公式为:.由古典概率的特征及其计算公式,我们用好古典概率只需要牢牢把握住两点:(1)基本事件总数.(2)事件中所含基本事件数.例1 先后抛掷两枚骰子,问:(1)出现正面向上的数字之和分别是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的概率是多少？(2)出现正面向上的数字之和为5 的倍数的概率是多少？(3)出现正面向上的数字之和为3的倍数的概率是多少？(4)出现正面向上的数字之和为几的概率最大？最大概率是多少？分析 (1)用表示两次的点数,其基本事件总数如表1所示:表11234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由表1可知基本事件总数为36,所以表2正面向上数字之和23456789101112概率(2)正面向上数字之和为5的倍数的有以下 (2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4),(1,4),(4,1)共7种情况,所以概率.(3)正面向上数字之和为3的倍数的有以下(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(1,5),(5,1),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(3,3),(6,6),共12种情况,所以概率为.(4)由表2可知正面向上数字之和为7的概率最大,最大概率. 例2 在盒子中有十个相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10,从中任取一个球,此球的号码为偶数的概率为多少？解 令为事件“所取球的数为偶数”,显然包含2,4,6,8,10这五个基本事件,而基本事件就是从1—10这十个球中取一个,总数为10个,所以发生的概率为.2.2 几何方法如果我们在一个面积为的区域中等可能的任意投点,设在区域中有任意小区域.如果它的面积为.则点落入的可能性的大小与成正比而与的位置以及形状没有关系.如果“点落入小区域”这个随机事件为,则有,这一类概率通常称作几何概率,解决几何概率问题的关键是利用已知的条件建立适当的几何模型,从建立几何模型入手,来解决概率问题.例3 在面积为的内任意选一点,则的面积小于的概率是(　　).　　解 如图1所示为的中位线,当点位于四边形内时,的面积小于,又因为=,=,所以的面积小于的概率 .注: 例3直接给了几何图形,可以由此出发,利用面积比解决概率问题,但是有的问题中涉及到两个变量,此时我们就需要用平面直角坐标系来做出图形,再利用面积比来解决.图1例4 在长度为10的线段中任意取两点将线段分为三段.求这三段可以构成三角形的概率.分析 问题中涉及到三个变量,但经分析可知,只要设出其中两个变量,就可以表示出第三个变量,从已知条件入手,寻找变量之间的关系,利用线性规划做出图形,从而解决问题.解 设其中两线段长分别为,则剩余的一段长为,其中如图2所示,样本空间是直角边长为10的等腰直角三角形,被分得的三段可以构成三角形必须满足: 即 这样的点构成直角边为5的等腰直角三角形(如图2中阴影部分), 所以所求的概率为.图2例5 两个人相约6时到7时在某地会合,先到者等后到者20分钟,20分钟如果还没有来到就可以离去,试求这两个人能见面的概率.(假定两人到达的时刻都在6点和7点之间)分析 当两个人到达该地的时间差小于或者等于20分钟的时候,两个人就能见面,由于涉及两个变量,利用平面直角坐标系转化为与平面点集中面积有关的问题.解 设分别表示两个人到达的时刻,则 , .这样的点构成正方形,且 (如图3所示). 要使两人能见面,则必须满足,即 此条件确定区域 (图3中阴影部分),设“两人能见面”事件为,则.所以两人能见面的概率是.图3例6 图4是一个边长为1米的正方形木板,上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上痕迹,则这个地图的面积是( )平方米.分析 雨点落在地图上的概率问题是几何概率问题,用面积比来计算,雨点打在地图和板上是随机的.地图上有9个点的痕迹,板上其他的位置有18个点的痕迹,由此计算雨点落在地图上的概率,反过来推导地图的面积.图4 解 由于题意,雨点落在地图上的,由正方形的面积为1平方米,所以地图的面积为平方米.注: 本题是几何概率的逆用,通过随机性求出雨点落在地图上的概率,再用几何概率的公式计算地图的面积.3 概率中容易出错的问题3.1 与定义相关的容易出错的问题3.1.1[2]—[3] 随机事件发生的频率与概率混同例7 下列两个命题错误的是( )(1)抛掷一枚硬币100次,出现正面向上的频率为0.4,则该次试验中,正面向上的次数为40次.(2)若一批产品的次品率是0.1,则从该产品随机抽取100件,一定会有10件次品. 分析 随机事件在一次试验中发生的,它随着试验的次数的改变而改变,在大量的重复试验中,随机事件发生的频率呈现一定的规律性,频率的值接近于一个常数,这个常数就是随机事件发生的概率.虽然事件发生的概率反映了事件发生的必然规律,但是事件的发生又带有偶然性,在命题(2)中次品率为0.1,不等于100件产品中一定有10件次品,故(2)是错误的.3.1.2 等可能事件的等可能性与非等可能性的混同例8 投掷两枚骰子,求出现的点数之和等于3的概率.解 设为事件“出现的点数之和等于3”,基本事件总数为6×6=36,事件只有两种情况(1,2),(2,1),所以．分析 等可能事件的概率的计算公式为 ,这个公式仅仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立,而出现的点数之和为2和3的情况不是等可能的.出现的点数之和为2的情况只有一种 (1,1),而出现的点数之和为3的情况有两种 (1,2),(2,1),其他的情况可以类推.投掷两枚骰子出现点数可能情况有(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6)共36种情况.因此,基本事件总数为6×6=36,在这些结果中有利事件只有两种情况(1,2),(2,1),所以.注: 此类问题易发生的错误是:由于出现的点数之和的可能数值为2,3,4,5,…,12,所以.3.1.3 抽样中的放回与不放回混同例9 箱子中放有6件白色外套和4件红色外套,请回答下面的问题:(1)从箱子中连续取出四件外套,一次只取一件,取后不放回,恰巧取出一件红色外套的概率.(2)取出四件外套,一次取一件,取后放回,恰巧取到一件红色外套的概率.解 (1)记为事件“从箱子连续取四次,一次取一件,取后不放回,恰巧取到一件红色的外套”,因为一次取一件,取后不放回,故,,所以,.(2)记为事件“从箱子连续取四次,一次取一个,取后放回,恰巧取到一件红外套”,因为一次取一件,取后放回,所以.注: (1)为组合问题(2)为互斥独立重复试验的问题.3.1.4 互斥事件与对立事件的混同例10 两个事件对立是两个事件互斥的( ) 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件分析 要回答这个问题,必须搞清楚对立事件与互斥事件的联系与区别,具体的说,这二者的区别与联系主要体现在以下三个方面:(1)两事件对立,必是互斥,但互斥未必对立.(2)互斥的概念适合多个事件,但对立概念只适用于两个事件.(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,至多只能发生其中一个,但可以都不发生,而两事件对立则表示他们有且只有一个发生.3.1.5 事件发生次与事件第次发生混同例11 某射手射击一次,击中的概率是0.9,他连续射击四次,而且每次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:(1)他第三次击中目标的概率是0.9.(2)他恰巧击中目标三次的概率是.(3)他至少击中目标一次的概率是.其中结论正确的序号是( )(写出所有正确结论的序号).分析 第三次击中目标与第一,二次是否击中目标没有联系,所以(1)正确.恰好击中三次的概率应是,所以(2)是错误的.“至少击中目标一次”的概率可由其对立事件求得,其概率应该是所以(3)是正确的.注: 解答问题(1)和问题(2)时应注意不要与“第三次才击中目标”相混淆,“第三次”才击中目标表明第一次和第二次都没击中目标,其概率为,这种情况与“第三次击中目标”及“恰好击中三次”都有区别.若在次重复试验中,每次的试验结果的概率的值不依赖其它各次试验的结果,则此试验叫做次重复试验.如果在一次试验中事件发生概率为,则在次独立重复试验中,事件恰好发生次的概率为.3.1.6[4] 互斥事件与独立事件混同例12 甲投篮的命中率为0.8,乙投篮的命中率为0.7,每人投篮三次.两人恰好都命中两次的概率是多少？错解 设甲恰好投中两次为事件,乙恰好投中两次为事件,两人都恰好投中两次为事件,于是,.正解 设甲恰好投。