《微分与求导的法则》PPT课件.ppt

1函数的和、差、积、商的微分函数的和、差、积、商的微分小结小结 思考题思考题 作业作业3.2 函数的求导法则函数的求导法则第第3 3章章 导数与微分导数与微分反函数的微分与求导法则反函数的微分与求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的微分与求导法则复合函数的微分与求导法则★★与求导法则与求导法则2定理定理3.3并且并且则则它们的和、差、积、商它们的和、差、积、商在点在点 x处也可微处也可微,一、函数的和、差、积、商的一、函数的和、差、积、商的如果函数如果函数u(x), v(x)都在点都在点x处可微处可微, 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则微分与求导法则微分与求导法则证证 (1)可得可得可微的定义可微的定义证毕证毕.自己证自己证3证证 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则导数的定义导数的定义证毕证毕.4 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则证证 由由(2)乘积的导数公式乘积的导数公式,得得故故特别特别即即5推广推广且且若若u、、 v、、w在点在点x处均可微处均可微,在同一点在同一点x处也可微处也可微,在法则在法则(2)中中, 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则6例例解解例例解解 因为因为函数和、差的函数和、差的求导法则求导法则函数乘积的求函数乘积的求导法则导法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则7例例解解同理可得同理可得所以所以函数商的微分法则函数商的微分法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则8例例解解同理可得同理可得:即即函数商的求导法则函数商的求导法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则9例例证证由于斜率相等由于斜率相等, 知二切线平行知二切线平行.(1) 求交点求交点分别为曲线在分别为曲线在A, B点的切线斜率点的切线斜率.(2) 求导数求导数所作的曲线的切线彼此平行所作的曲线的切线彼此平行.注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求导尽量先化简再求导,确性确性. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则10或或定理定理3.4且且二、反函数的微分与求导法则二、反函数的微分与求导法则可微可微证证 由由得到得到 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .所以所以, 定理的结论成立定理的结论成立.11例例解解单调、可微单调、可微,直接函数直接函数 反函数反函数 同理可得同理可得因为因为所以所以 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则12例例解解单调、可微单调、可微,直接函数直接函数 反函数反函数 同理可得同理可得因为因为所以所以 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则13注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则14定理定理3.5链导法则链导法则且且或或而而则复合函数则复合函数y = f [g(x)]如果函数如果函数u =g(x)在点在点 x 可微可微,y =f (u)在点在点u = g(x)可微可微,在点在点x可微可微,三、复合函数的微分与求导法则三、复合函数的微分与求导法则因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .证证得到得到证毕证毕.15推广推广 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则16因为因为所以所以求函数求函数例例解解 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则17例例解解 因为因为所以所以 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则18例例解解例例解解 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则19例例解解例例解解 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则20考研数学四考研数学四, 4分分解解 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则21解解' 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则221. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式基本求导、微分法则基本求导、微分法则四、导数、微分公式与四、导数、微分公式与 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则232. 常数和基本初等函数的微分公式常数和基本初等函数的微分公式 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则24 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则253. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则都可导都可导, 则则4. 函数的和、差、积、商的微分法则函数的和、差、积、商的微分法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则265. 反函数的求导、微分法则反函数的求导、微分法则或或且且可微可微或或 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则27链导法则链导法则且且或或而而y =f (u)在点在点则复合函数则复合函数y = f [g(x)]在点在点x可微可微,如果函数如果函数u =g(x)在点在点 x 可微可微,u = g(x)可微可微,6. 复合函数的求导与微分法则复合函数的求导与微分法则初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注利用上述公式及法则初等函数求导问题可利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决完全解决. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则29例例解解所以所以 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则30解解注注则则上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,?不表示不表示 f 对对x的导数的导数.例例 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则31解解 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则32解解 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则33答案答案解解 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则34设函数设函数解解设设 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则35(注意成立条件注意成立条件);复合函数的求导与微分法则复合函数的求导与微分法则五、小结五、小结不能遗漏不能遗漏);(对于对于复合函数复合函数,反函数的求导与微分法则反函数的求导与微分法则注意一层层的复合结构注意一层层的复合结构,函数的积、商求导与微分法则函数的积、商求导与微分法则注意注意记住基本初等函数的导数、微分公式记住基本初等函数的导数、微分公式. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则36思考题思考题(是非题是非题)非非例如例如处处可导处处可导,处不可导处不可导,但复合函数但复合函数处处可导处处可导. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则37作业作业习题习题3.2(623.2(62页页) ) 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则。