M03n简单的优化模型课件.ppt

第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机3.3 森林救火森林救火3.4 最优价格最优价格3.5 血管分支血管分支3.6 消费者均衡消费者均衡3.7 冰山运输冰山运输• 现实世界中普遍存在着现实世界中普遍存在着优化问题优化问题.• 静态优化问题指静态优化问题指最优解是数最优解是数(不是函数不是函数).• 建立静态优化模型的关键之一是建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的根据建模目的确定恰当的目标函数目标函数.• 求解静态优化模型一般用求解静态优化模型一般用微分法微分法.静静 态态 优优 化化 模模 型型3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. . 该厂该厂该厂该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出. .已知某产品日需求量已知某产品日需求量已知某产品日需求量已知某产品日需求量100100件，生产准备费件，生产准备费件，生产准备费件，生产准备费50005000元，贮存费元，贮存费元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件每日每件每日每件1 1元元元元. . 试安排该产品的生产计划，即多少天生产试安排该产品的生产计划，即多少天生产试安排该产品的生产计划，即多少天生产试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小. .要要求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系需求量、准备费、贮存费之间的关系需求量、准备费、贮存费之间的关系需求量、准备费、贮存费之间的关系. .问题分析与思考问题分析与思考• 每天生产一次每天生产一次每天生产一次每天生产一次, , 每次每次每次每次100100件件件件, ,无贮存费无贮存费无贮存费无贮存费, ,准备费准备费准备费准备费50005000元元元元. .日需求日需求日需求日需求100100件，准备费件，准备费件，准备费件，准备费50005000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1 1元元元元. .• 1010天生产一次天生产一次天生产一次天生产一次, , 每次每次每次每次10001000件，贮存费件，贮存费件，贮存费件，贮存费900+800+…+100 =4500900+800+…+100 =4500元，准备费元，准备费元，准备费元，准备费50005000元，总计元，总计元，总计元，总计95009500元元元元. .• 5050天生产一次天生产一次天生产一次天生产一次, ,每次每次每次每次50005000件件件件, , 贮存费贮存费贮存费贮存费4900+4800+…+100 =1225004900+4800+…+100 =122500元，准备费元，准备费元，准备费元，准备费50005000元，总计元，总计元，总计元，总计127500127500元元元元. .平均每天费用平均每天费用平均每天费用平均每天费用950950元元元元平均每天费用平均每天费用平均每天费用平均每天费用25502550元元元元10101010天生产一次天生产一次天生产一次天生产一次, , , ,平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗平均每天费用最小吗? ? ? ?每天费用每天费用每天费用每天费用50005000元元元元• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数这是一个优化问题，关键在建立目标函数这是一个优化问题，关键在建立目标函数这是一个优化问题，关键在建立目标函数. .显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数. .目标函数目标函数——每天总费用的平均值每天总费用的平均值.• 周期短，产量小周期短，产量小周期短，产量小周期短，产量小• 周期长，产量大周期长，产量大周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小. .模模 型型 假假 设设1. 1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r r；；；；2. 2. 每次生产准备费为每次生产准备费为每次生产准备费为每次生产准备费为 c c1 1, , 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c c2 2；；；；3. 3. T T天生产一次（周期）天生产一次（周期）天生产一次（周期）天生产一次（周期）, , 每次生产每次生产每次生产每次生产Q Q件，当贮存量件，当贮存量件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，为零时，为零时，Q Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设设设 r, cr, c1 1, , c c2 2 已知，求已知，求已知，求已知，求T, QT, Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小. . . .4. 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理为方便起见，时间和产量都作为连续量处理. .模模 型型 建建 立立0 0t tq q贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q q( (t t) )T TQ Qr rt t=0=0生产生产生产生产Q Q件，件，件，件，q q(0)=(0)=Q Q, , q q( (t t) )以以以以需求速率需求速率需求速率需求速率r r递减，递减，递减，递减，q q( (T T)=0.)=0.一周期一周期一周期一周期总费用总费用总费用总费用每天总费用平均每天总费用平均每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为一周期贮存费为一周期贮存费为A A=QT=QT/2/2模型求解模型求解求求求求 T T 使使使使模型解释模型解释定性分析定性分析定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析敏感性分析敏感性分析参数参数参数参数c c1 1, ,c c2 2, , r r的微小变化对的微小变化对的微小变化对的微小变化对T,QT,Q的影的影的影的影响响响响T T对对对对c c1 1的的的的( (相对相对相对相对) )敏敏敏敏感度感度感度感度 c c1 1增加增加增加增加1%, 1%, T T增加增加增加增加0.5%0.5%S S( (T,cT,c2 2)=-1/2, )=-1/2, S S( (T,rT,r)=-1/2)=-1/2c c2 2或或或或r r增加增加增加增加1%, 1%, T T减少减少减少减少0.5%0.5%经济批量订货公式经济批量订货公式经济批量订货公式经济批量订货公式（（（（EOQEOQ公式公式公式公式））））• 用于订货供应情况用于订货供应情况用于订货供应情况用于订货供应情况: :不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型模型应用模型应用T T=10(=10(天天天天), ), Q Q=1000(=1000(件件件件), ), C C=1000(=1000(元元元元) )• 回答原问题回答原问题回答原问题回答原问题c c1 1=5000=5000, , c c2 2=1=1，，，，r r=100=100 每天需求量每天需求量每天需求量每天需求量 r r，每次订货费，每次订货费，每次订货费，每次订货费 c c1 1, , 每天每件贮存费每天每件贮存费每天每件贮存费每天每件贮存费 c c2 2 , , T T天订货一次天订货一次天订货一次天订货一次( (周期周期周期周期), ), 每次订货每次订货每次订货每次订货Q Q件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，件，当贮存量降到零时，Q Q件立即到货件立即到货件立即到货件立即到货. .思考思考思考思考: : 为什么与前面计算的为什么与前面计算的为什么与前面计算的为什么与前面计算的C C=950=950元有差别元有差别元有差别元有差别? ?允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型A AB B0 0q qQ Qr rT T1 1t t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r r, , 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失. .原模型假设：原模型假设：原模型假设：原模型假设：贮存量降到零时贮存量降到零时贮存量降到零时贮存量降到零时Q Q件立即生产出来件立即生产出来件立即生产出来件立即生产出来( (或立即到货或立即到货或立即到货或立即到货). ). 现假设：现假设：现假设：现假设：允许缺货允许缺货允许缺货允许缺货, , 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c c3 3 , , 缺货需补足缺货需补足缺货需补足缺货需补足. .T T周期周期周期周期T, t=TT, t=T1 1贮存量降到零贮存量降到零贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用一周期总费用一周期总费用一周期一周期一周期一周期贮存费贮存费贮存费贮存费一周期一周期一周期一周期缺货费缺货费缺货费缺货费每天总费用每天总费用每天总费用每天总费用平均值平均值平均值平均值（目标函数）（目标函数）（目标函数）（目标函数）一周期总费用一周期总费用一周期总费用一周期总费用求求求求 T ,Q T ,Q 使使使使为与为与为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，相比，相比，T T记作记作记作记作T 'T ', , Q Q记作记作记作记作Q Q'. '.允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型不允许不允许不允许不允许缺货缺货缺货缺货模型模型模型模型记记记记允许允许允许允许缺货缺货缺货缺货模型模型模型模型不不不不允允允允许许许许缺缺缺缺货货货货允许允许允许允许缺货缺货缺货缺货模型模型模型模型0 0q qQ Q   r rT T1 1t tT T注意：缺货需补足注意：缺货需补足注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q Q   ~ ~每周期初的存贮每周期初的存贮每周期初的存贮每周期初的存贮量量量量R R每周期的生产量每周期的生产量每周期的生产量每周期的生产量R R （或订货量）（或订货量）（或订货量）（或订货量）Q Q~ ~不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量( (或订货量或订货量或订货量或订货量) ) 存存 贮贮 模模 型型• 存贮模型存贮模型存贮模型存贮模型(EOQ(EOQ公式公式公式公式) )是研究批量生产计划的是研究批量生产计划的是研究批量生产计划的是研究批量生产计划的重要理论基础重要理论基础重要理论基础重要理论基础, , 也有实际应用也有实际应用也有实际应用也有实际应用. .• 建模中未考虑生产费用建模中未考虑生产费用建模中未考虑生产费用建模中未考虑生产费用, , 为什么为什么为什么为什么? ?在什么条件下在什么条件下在什么条件下在什么条件下可以不考虑可以不考虑可以不考虑可以不考虑( (习题习题习题习题1)? 1)? • 建模中假设生产能力为无限大建模中假设生产能力为无限大建模中假设生产能力为无限大建模中假设生产能力为无限大( (生产时间不计生产时间不计生产时间不计生产时间不计), ), 如果生产能力有限如果生产能力有限如果生产能力有限如果生产能力有限( (大于需求量的常数大于需求量的常数大于需求量的常数大于需求量的常数), ), 应作应作应作应作怎样的改动怎样的改动怎样的改动怎样的改动( (习题习题习题习题2)?2)?习题习题3.1 •在存贮模型的总费用中增加购买货物本身在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。

重新确定最优订货周期和订货批的费用重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样而在允许缺货模型中最优订货周的一样而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少期和定货批量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为解：设购买单位重量货物的费用为解：设购买单位重量货物的费用为解：设购买单位重量货物的费用为其它假设及符号约定同课本．其它假设及符号约定同课本．其它假设及符号约定同课本．其它假设及符号约定同课本． (1) (1) (1) (1)对于不允许缺货模型，每天平均费用为：对于不允许缺货模型，每天平均费用为：对于不允许缺货模型，每天平均费用为：对于不允许缺货模型，每天平均费用为：令令令令解得解得解得解得由由由由得得得得与不考与不考与不考与不考虑购货费虑购货费的的的的结结果比果比果比果比较较, ,ＴＴＴＴ, ,Ｑ的最Ｑ的最Ｑ的最Ｑ的最优结优结果没有果没有果没有果没有变变．．．． （（（（2 2 2 2）对于允许缺货模型，每天平均费用为：）对于允许缺货模型，每天平均费用为：）对于允许缺货模型，每天平均费用为：）对于允许缺货模型，每天平均费用为：令令令令得到驻点：得到驻点：得到驻点：得到驻点：与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．习题习题3.2•建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数生产速率为常数 k ，销售速率为常数，销售速率为常数 r ，， k>r ，在每个生产周期，在每个生产周期 T 内，开始的一段时内，开始的一段时间间 (0>r 和和 k≈r 的情况解：由解：由解：由解：由题题意可得意可得意可得意可得贮贮存量存量存量存量的的的的图图形如下：形如下：形如下：形如下： 贮存费为贮存费为贮存费为贮存费为 又又又又贮贮存存存存费变为费变为 即即即即于是不允许缺货的情况下，于是不允许缺货的情况下，于是不允许缺货的情况下，于是不允许缺货的情况下，单位时间内单位时间内单位时间内单位时间内生产销售的生产销售的生产销售的生产销售的总费用为总费用为总费用为总费用为得最优周期为：得最优周期为：得最优周期为：得最优周期为： 相当于生产能力无限大相当于生产能力无限大相当于生产能力无限大相当于生产能力无限大的情况的情况的情况的情况. . . .此此此此时产时产量与量与量与量与销销量相抵消，量相抵消，量相抵消，量相抵消，无法形成贮存量无法形成贮存量无法形成贮存量无法形成贮存量. .3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80kg重的生猪体重增加重的生猪体重增加2kg.问问题题市场价格目前为市场价格目前为8元元/kg，但是，但是预测预测每天会降低每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售元，问生猪应何时出售?如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响有误差，对结果有何影响?分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元.建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q= R-C估计估计r=2，，若当前出售，利润为若当前出售，利润为80×8=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 > 640g=0.1=pw - 4t敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g微小变化时对模型结果的影响微小变化时对模型结果的影响. 估计估计r=2，， g=0.1• 设设g=0.1不变不变 t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪每天增加的体重生猪每天增加的体重 r 变大变大1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%. rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，， g=0.1研究研究 r, g微小变化时对模型结果的影响微小变化时对模型结果的影响. • 设设r=2不变不变 t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低生猪价格每天的降低g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%. gt强健性分析强健性分析保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算再作计算.研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响. w=80+rt w = w(t)p=8-gt  p =p(t) 若若 (10%), 则则 （（30%）） 每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的资金每天投入的资金 利润利润3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).• 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.• 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小.• 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形.t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论单位时间转而讨论单位时间烧毁面积烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度森林烧毁的速度).模型假设模型假设 3））f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1））0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数  (火势蔓延速度火势蔓延速度). 2））t1 t t2,   降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度速度). 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3 .假设假设1）的解释）的解释 rB火势以失火点为中心，均匀向四火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径周呈圆形蔓延，半径 r与与 t 成正比成正比.面积面积 B与与 t2 成正比成正比dB/dt与与 t 成正比成正比模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1））目标函数目标函数——总费用总费用假设假设3））4））假设假设2））模型建立模型建立目标函数目标函数——总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释•   /  是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3, t1,   , 为已知参为已知参数数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估可估计计, c2  x  c1, t1,      x  c3 ,     x   结果结果解释解释c1~烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2~每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3~每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1~开始救火时刻开始救火时刻,  ~火火势蔓延速度势蔓延速度,  ~每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ?   , 可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量 x3.4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大.假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x.2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格.3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本.4）销量）销量 x 依于价格依于价格 p, x(p)是减函数是减函数. 建模与建模与求解求解收入收入支出支出利润利润进一步设进一步设求求p使使U(p)最大最大使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出结果结果解释解释• q / 2 ~ 成本的一半成本的一半• b ~ 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度）• a ~ 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b    p*  a   p*  思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b?销量销量p ~价格价格q ~成本成本最优价格最优价格3.5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动.给血管壁以营养给血管壁以营养.克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力.消耗能量与取决于血管的几何形状消耗能量与取决于血管的几何形状.在长期进化中动物血管的几何形状已经在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则达到能量最小原则.研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度.问问题题模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面.血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动.血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度加而增加，管壁厚度d近近似与血管半径似与血管半径r成正比成正比.1q1ABB´CHLll1rr1  q=2q1r/r1,   ?考察血管考察血管AC与与CB, CB´粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动  p~A,C压力差，压力差，  ~粘性系数粘性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 提供营养消耗能量提供营养消耗能量E2 管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积 (d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设1q1ABB´CHLll1rr1  模型建立模型建立1q1ABB´CHLll1rr1  克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模型求解1q1ABB´CHLll1rr1  模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 观察：狗的血管观察：狗的血管血管总条数血管总条数推论推论n=？？q2U(q1,q2) = cq103.6 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度购买这两种商品，以达到最大的满意度.设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) ~ 效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1, p2, 有钱有钱s，试分配，试分配 s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1, q2,使使 U(q1, q2)最最大大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq10模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最最大大.几几何何解解释释直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点斜率斜率·MQN··结果结果解释解释——边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到价格之比时达到.效用函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件条件条件A U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下单调减、下凸凸• 解释条件解释条件 B的实际意义的实际意义条件条件B条件条件B条件条件A效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形的形式式• 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比与二者价格之比的平方根成正比.• U(q1,q2)中参数中参数  ,   分别表示消费者对甲分别表示消费者对甲乙乙两种商品的偏爱程度两种商品的偏爱程度.• 购买两种商品费用之比与二者价格无关购买两种商品费用之比与二者价格无关.• U(q1,q2)中参数中参数  ,  分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度的偏爱程度.思考：如何推广到思考：如何推广到 m ( > 2) 种商品的情况种商品的情况?效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形的形式式3.7 冰山运输冰山运输背景背景• 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米的成本为每立方米0.1英镑英镑.• 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水船运送冰山，取代淡化海水.• 从经济角度研究冰山运输的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性.建模准备建模准备1. 日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（米最大运量（米3））4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 >4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.模型模型假设假设• 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米.• 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同.•到达目的地后到达目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85立方米立方米水水.建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型第第t天融天融化速率化速率模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的线性函数的线性函数d<4000时时u与与d成正比成正比d>4000时时u与与d无关无关航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 >4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律 冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积t天时体积天时体积总航行天数总航行天数选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性, 对对lgV 线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用 V0 5  105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）（英镑）航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用冰山运输总费用冰山运输总费用冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每立方运送每立方米水费用米水费用 到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积模型求解模型求解选择船型和船速选择船型和船速,使冰山到达目使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=4~5(千米千米/小时小时), V0= 107 (米米3)，， Y(u,V0)最最小小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，，u）用）用枚举法计算枚举法计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3),船速船速 u=4~5(千米千米/小时小时),冰冰山到达目的地后每立方米水的费用山到达目的地后每立方米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑).虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙但是模型假设和构造非常简化与粗糙.冰冰 山山 运运 输输• 模型来自实际问题的可行性研究模型来自实际问题的可行性研究.• 收集数据是建模的重要准备工作收集数据是建模的重要准备工作.• 根据数据得到的经验公式是建模的基础根据数据得到的经验公式是建模的基础.• 冰山形状的球形假设简化了计算冰山形状的球形假设简化了计算, 这个这个假设的合理性如何假设的合理性如何?如果改变它呢如果改变它呢?。