《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面.ppt

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容 1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线第一节 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线.设柱面的准线为母线的方向数为X,Y,Z如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面 母线// 轴双曲柱面母线// 轴抛物柱面母线// 轴只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.例1、柱面的准线方程为而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程例2、已知圆柱面的轴为点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。

定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标） 的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于 所缺元（坐标）的同名坐标轴证明：我们不妨证明方程 是母线平 行于Z轴的柱面取曲面 与xOy面的交线作准线，z轴的方向 为母线的方向，来建立 柱面方程任取准线上的一点 ，过 的母线 方程为取曲面 而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程即又因为点 在准线（1）上，，所以又有将（2）代入（3）消去参数 ，得到所求的 柱面方程为同理， 与 分别表示母线平行于 X轴和y轴的柱面方程 分别表示椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面2.空间曲线的射影柱面设空间曲线为依次从（1）中消去一个元，可得任取其中两个方程组成方程组，比如那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。

从而曲面 与曲面 都通过已知曲线（1 ） 同理方程 也通过已知曲线（1）我们把曲面 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线同理，曲面 与曲面 分别叫做 方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面而曲线 与曲线分别叫做曲线（1）在xOz坐标面与yOz坐标面 上的射影曲线 例：从方程组消去y，得 ，这就是空间曲线L在xOz面上的射影柱面，曲线 为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线从方程组消去z，得 ，这就是空间曲线L在 xOy面上的射影柱面，曲线 为曲线L在xOy坐标面上的射影曲线 曲线L也可以看成是作业P147:1,3,8(1),(2)第二节 锥面 一、锥面1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的 母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。

2、锥面的方程设锥面的准线为顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为：且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程例1、求顶点在原点，准线为的锥面的方程答：（二次锥面）例2：已知圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面 2x+2y-z+1=0，母线与轴成 角，试求这圆锥面 的方程解：设 为任意母线上的一点，那么过 点的母线的方向向量而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面的法向量，即为有整理得 2x+2y-z+1=0定理 4.2.1 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在 坐标原点的锥面齐次方程：设λ为实为实 数，对对于函数f(x,y,z)，如果有 f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)则称f(x,y,z)为λ的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次 方程例如，方程 x2+y2-z2=0圆锥面又如，方程 x2+y2+z2=0原点（虚锥面）作业:P151:2,3,5第三节 旋转曲面一、. 旋转曲面 1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的轴 .曲线C称为旋转曲面的母线oC纬线经线二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：旋转直线为：其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。

设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线所以过M1的纬圆的方程为：当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面 又由于M1在母线上，所以又有：从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一 个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程例1、求直线绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面上一条曲线C, 方程为 , 曲 线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0, y1`, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0当C绕 z 轴旋转而M1随 之转到M (x, y, z)时, 有将z1 = z, 代入方程f( y1, z1) = 0, 得旋转曲面的方程:即规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标 轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在 坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其 它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐 标。

解 圆锥面方程例2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz = ay解: 将 y 用 代入直线方程, 得平方得:z2 = a2 ( x2 + y2 )该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面（单叶）（双叶）例4、将圆绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程 解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面旋转椭球面旋转抛物面（长形）（短形）作业:P 158:1(1),(4)第四节 椭球面二次曲面的定义：三元二次方程相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．一、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面．ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆当 |k |  c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.二. 几种常见二次曲面.（一） 椭球面1 用平面z = 0去截割, 得椭圆3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示 球心在原点o, 半径为a的球面.§4.5 双曲面单叶双曲面（1）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点 的椭圆.与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上.（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与 轴相合， 虚轴与 轴相合.双曲线的中心都在 轴上.与平面 的交线为双曲线.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.截痕为一对相交于点 的直线.截痕为一对相交于点 的直线.（3）用坐标面 ， 与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形xyoz平面 的截痕是两对相交直线.双叶双曲面xyo§4.6 抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面 与曲面相截截得一点，即坐标原点原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上.与平面 不相交.（2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线与平面 的交线为抛物线.它的轴平行于 轴（3）用坐标面 ， 与曲面相截均可得抛物线.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下 ：特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴 旋转而成的）与平面 的交线为圆.当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上.双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：图形如下：xyzo例1：作出球面 与 旋转抛 物面 的交线。

v例2：作出曲面 与平面 ，三坐标面所围成的立体在第一卦象部分的 立体图形作业:P168:3,5 P175:2v §4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定义：由一族直线生成的曲面叫做直纹曲面柱面，锥面都是直纹曲面单叶双曲面与双 曲抛物面也是直纹曲面考虑单叶双曲面：其中a，b，c为正常数，把（1）改写成现在引进不等于零的参数u，并考察由上式得来方程 组与两个方程组U族上直线中的任何一条直线上的点都在曲面（ 1）上反过来，也可以证明曲面（1）上的任一点，一 定在u族直线中的某一条直线上设 。