2019人教版精品教学资料·高中选修数学课时跟踪检测（十一） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．下列双曲线中离心率为的是( )A．－＝1 B．－＝1C．－＝1 D．－＝1解析：选B 由e＝得e2＝，∴＝，则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析：选A 令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )A．(－10,0) B．(－12,0)C．(－3,0) D．(－60，－12)解析：选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝＝＝1－．又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－120，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A． B．2C． D．解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为．∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝．故选D．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．答案：－y2＝17．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B．所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．答案：9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12．10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：(1)由题意得解得所以b2＝c2－a2＝2．所以双曲线C的方程为x2－＝1．(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5．故m＝±1．层级二 应试能力达标1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )A．2 B．2C． D．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2．故选A．2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24．故选D．3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A． B．C． D．解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b．设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝．故选D．4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )A． B．C． D．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．答案：－＝16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．答案：[2，＋∞)7．设双曲线－＝1(0a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．解：(1)由消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得解得－0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝．综上可知，|x1－x2|＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．由(1)，可知－
