控制系统的稳定性分析.ppt

MATLAB与控制系统仿真实践第第2章　章　控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析本章主要内容原理要点2.1 系统稳定性的MATLAB直接判定￿2.1.1 MATLAB直接判定的相关函数2.1.2 MATLAB直接判定实例2.2 系统稳定性的MATLAB图解判定2.2.1 MATLAB图解判定的相关函数2.2.2 MATLAB图解判定实例2.3 MATLAB LTI Viewer稳定性判定实例原理要点——系统稳定的概念￿ 经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的原理要点——系统稳定的意义￿ 系统稳定性是系统设计与运行的首要条件只有稳定的系统，才有价值分析与研究系统自动控制的其它问题，例如只有稳定的系统，才会进一步计算稳态误差所以控制系统的稳定性分析是系统时域分析、稳态误差分析、根轨迹分析与频率分析的前提。

￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿对一个稳定的系统，还可以用相对稳定性进一步衡量系统的稳定程度￿ 系统的相对稳定性越低，系统的灵敏性和快速性越强，系统的振荡也越激烈原理要点——系统特征多项式￿设线性定常系统闭环传递为：式中，称为系统特征多项式￿为系统特征方程￿原理要点——系统稳定的判定￿ 对于线性连续系统，如果系统的所有特征根(极点)的实部为负，则系统是稳定的；如果有实部为零的根，则系统是临界稳定的（在实际工程中视临界稳定系统为不稳定系统）；反之，如有正实部的根，则系统不稳定￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿线性连续系统稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程的根全具有负实部，即 全部根在左半复平面内或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s平面内￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿线性离散系统稳定的充分必要条件是：如果闭环线性离散系统的特征方程根或者闭环脉冲传递函数的极点为则当所有特征根的模都小于1时，即￿￿￿￿该线性离散系统是稳定的：如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的￿原理要点——其它稳定性判据￿ 除上述判据之外，还有很多其它判据（其它分析方法中，后面各章将阐述）从各个不同的角度对系统的稳定性加以判别，说明系统稳定性是系统能够成立与运行的首要条件。

2.1 系统稳定性的￿￿￿￿￿￿￿MATLAB直接判定本节主要内容2.1.1 MATLAB直接判定的相关函数直接判定的相关函数2.1.2 MATLAB直接判定直接判定实例例 由系统的稳定判据可知，实际上是判定系统闭环特征方程的根的位置其前提需要求出特征方程的根MATLAB提供了与之相关的函数，见表2.1：表2.1 判定系统稳定的MATLAB函数p=eig(G) 求取矩阵特征根系统的模型求取矩阵特征根系统的模型G G可以是可以是传递函数、状态方程和零极点模型，传递函数、状态方程和零极点模型，可以是连续或离散的可以是连续或离散的 P=pole(G)Z=zero(G) 分别用来求系统的极点和零点分别用来求系统的极点和零点G G是是已已经定义的系统数学模型经定义的系统数学模型 [p,z] = pzmap(sys) 求系统的极点和零点求系统的极点和零点syssys是定义好的是定义好的系统数学模型系统数学模型 r = roots(P) 求特征方程的根求特征方程的根P P是系统闭环特征多是系统闭环特征多项式降幂排列的系数向量项式降幂排列的系数向量 2.1.2　MATLAB直接判定实例例例1：：已知系已知系统闭环传递函数函数为用用MATLAB判定判定￿ ￿稳定性。

定性>> num=[1 0 2 1];>> den=[1 2 8 12 20 16 16];>> G=tf(num,den)￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿%得得到系到系统模型模型Transfer function: s^3 + 2 s + 1-------------------------------------------------s^6 + 2 s^5 + 8 s^4 + 12 s^3 + 20 s^2 + 16 s + 16 >> p=eig(G)　　￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿%求系求系统的特的特征根征根p = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i>> p1=pole(G)　　￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿%求系求系统的的极点极点p1 = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i>> r=roots(den)　　￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿%求系求系统特征方程的根特征方程的根r = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿系系统特征根有特征根有2个是位于个是位于s左半左半平面的，而平面的，而4个位于虚个位于虚轴上。

由于有位于虚上由于有位于虚轴的根，系的根，系统是是临界界稳定的在实际工程工程应用上看，系用上看，系统可可认为是不是不稳定的￿￿￿￿￿￿分析分析：：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由不同由不同MATLAB函数求得的系函数求得的系统特征方程根是一致的在需要特征方程根是一致的在需要时根据情况根据情况选择使用例例2：：给定系定系统如如图2.1，，给出出MATLAB程序程序判定系判定系统是否是否稳定，要求程序定，要求程序给出适当提出适当提￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿示num=[1 3];den=[2 4 5 8 10];G=tf(num,den);Gc=feedback(G,1);[num,den]=tfdata(Gc,'v');r=roots(den);disp('系系统闭环极点：极点：');disp(r)a=find(real(r)>0);b=length(a);if b>0 disp('系系统不不稳定定.');else disp('系系统稳定定.');end程序运行程序运行结果果：：系系统闭环极点：极点：￿￿￿￿￿￿0.0682 + 2.1811i 0.0682 - 2.1811i -1.1469 + 0.7535i -1.1469 - 0.7535i 0.0786 + 1.4147i 0.0786 - 1.4147i 系系统不不稳定定.例例3：：某控制系某控制系统的方框的方框图如如图2.2所示。

所示试用用MATLAB确定当系确定当系统稳定定时，参数，参数K的取的取值范范围（假（假设￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿）图2.2 例3系统框图由题，闭环系统的特征方程为：整理得：  当特征方程的根均当特征方程的根均为负实根或根或实部部为负的共的共轭复根复根时，系，系统稳定先假设K的大致的大致范范围，利用，利用roots()函数函数计算算这些些K值下特征下特征方程的根，然后判断根的位置以确定系方程的根，然后判断根的位置以确定系统稳定定时K的取的取值范范围￿￿￿￿程序如下：程序如下：k=0:0.01:100;for index=1:10000, p=[2 15 27 k(index)+12 k(index)+1]; r=roots(p); if max(real(r))>0 break; endendsprintf('系系统临界界稳定定时K值为:K=%7.4f\n',k(index))程序运行程序运行结果果为：：ans =系系统临界界稳定定时K值为:K= 90.12002.2　系统稳定性的￿￿￿￿￿￿￿￿￿MATLAB图解判定本节主要内容 2.2.1　　MATLAB图解判定的相关函数解判定的相关函数￿￿￿￿2.2.2　　MATLAB图解判定解判定实例例2.2.1MATLAB图解判定的相关函数 对于于给定系定系统G，，pzmap(G)函数在无返函数在无返回参数列表使用回参数列表使用时，直接以，直接以图形化的方式形化的方式绘制制出系出系统所有特征根在所有特征根在S－复平面上的位置，所－复平面上的位置，所以判定系以判定系统是否是否稳定只需看一下系定只需看一下系统所有极点所有极点在在S－复平面上是否均位于虚－复平面上是否均位于虚轴左左侧即可。

即可这种种图形化的方式更直形化的方式更直观2.2.2　MATLAB图解判定实例例例4：：已知一控制系已知一控制系统框框图，如，如图2.3所示，所示，试￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿判断系判断系统的的稳定性>> G1=tf([1 1],[2 1]);>> G2=tf([5],[2 3 1]);>> H1=tf(1,[2 1]);>> Gc=feedback(G2*G1,H1) 　　%得到得到闭环系系统传递函数函数￿ ￿Transfer function: 10 s^2 + 15 s + 5----------------------------------8 s^4 + 20 s^3 + 18 s^2 + 12 s + 6>> pzmap(Gc)分析分析：由于特征根全部在：由于特征根全部在S-S-平面的左半平面，平面的左半平面， 所以此负反馈系统是稳定的所以此负反馈系统是稳定的 例例5：：给定离散系定离散系统闭环传递函数分函数分别为：：和和采采样周期均周期均为0.1秒分别绘制系制系统零极点分零极点分布布图，并判定各系，并判定各系统稳定性。

定性￿ ￿>> num=[1 4.2 5.43];>> den=[1 -2.7 2.5 2.43 -0.56];>> Gc=tf(num,den,0.1)Transfer function: z^2 + 4.2 z + 5.43---------------------------------------z^4 - 2.7 z^3 + 2.5 z^2 + 2.43 z - 0.56 Sampling time: unspecified>> pzmap(Gc)图2.5 例5运行结果 由上由上图可知，系可知，系统G在在单位位圆外有极点存外有极点存￿ ￿在，系在，系统是不是不稳定的>> num=[0.68 5.43];>> den=[1 -1.35 0.4 0.08 0.002];>> G2=tf(num,den,0.1) Transfer function: 0.68 z + 5.43-----------------------------------------z^4 - 1.35 z^3 + 0.4 z^2 + 0.08 z + 0.002Sampling time: 0.1>> pzmap(G2)图2.6 例5运行结果 由由图可知，系可知，系统G2闭环传递函数的所有极函数的所有极点都位于点都位于单位位圆内部，据此可知此内部，据此可知此闭环系系统是是稳定的。

定的2.3　MATLAB LTI VIEWER稳定性判定实例 MATLAB LTI Viewer是是MATLAB为LTI（（Linear Time Invariant）系）系统的分析提的分析提供的一个供的一个图形化工具用它来可以很直形化工具用它来可以很直观简便便地分析控制系地分析控制系统的的时域和域和频域响域响应￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿用用MATLAB LTI Viewer来来观察察闭环系系统的零极点分布情况，需要首先在的零极点分布情况，需要首先在MATLAB中建立系中建立系统的的闭环系系统传递函数模函数模型型￿ ￿ 例例6：已知：已知单位位负反反馈控制系控制系统的开的开环传递函数函数为￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿用用MATLAB LTI Viewer观察察闭环系系统的的零极点分布情况，并判断此零极点分布情况，并判断此闭环系系统的的稳定性1.建立系建立系统模型>> z=[-3];>> p=[0 -2 -5];>> k=3;>> G=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain: 3 (s+3)-------------s (s+2) (s+5)>> Gc=feedback(G,1) Zero/pole/gain: 3 (s+3)---------------------------------(s+4.599) (s^2 + 2.401s + 1.957) 2.打开打开LTI Viewer。

在命令窗口在命令窗口输入：入：>> ltiview即即进入入LTI Viewer窗口，如窗口，如图2.6图2.6 LTI Viewer窗口　窗口　图2.7 LTI Viewer导入系入系统模型窗口模型窗口￿ ￿ 3.导入在入在MATLAB中建立好的系中建立好的系统模型模型在LTI Viewer窗口上窗口上选File>Import，出，出现如如图2.7的窗口我的窗口我们可以从可以从Workspace项中中选刚建立好的系建立好的系统Gc系统默默认会会给出系出系统的的阶跃响响应曲曲线图图2.8 2.8 选择系统响应选择系统响应 4.观察系察系统的零极点分布的零极点分布在图2.8的窗口中的窗口中点点击右右键，，选Plot types>Pole/Zero即绘制出系制出系统的零极点分布的零极点分布图如图2.9所示￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由由图可知，系可知，系统的的闭环极点全极点全部位于部位于S-平面左半平面可判定系平面左半平面可判定系统是是稳定的图图2 2. .9 9 系系统统零零极极点点分分布布图图。