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函数及其相关概念函数及其相关概念ⅡⅠ1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y 是 x 的函数2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数1、一次函数的概念：一般地，如果y  kx b（k，b 是常数，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。

特别地，当一次函数y  kx b中的 b 为 0 时，y  kx（k 为常数，k0） 这时，y 叫做 x 的正比例函数2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点（0，b）的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截距)；正比例函数y  kx的图像是经过原点（0，0）的直线3、斜率：y2y1k tanx2x1yP(x0 y0)dB(x2,y2)A(x1,y1)y=kx+b①直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:ba0xy  kx b  (tan)x b y2 y1x(x  x1)  y1x2 x1③由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：④设两条直线分别为，l1：y  k1x  b1l2：y  k2x  b2若若l1// l2，则有l1// l2 k1 k2且b1 b2⑤点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用寻求解题方法）xy1abl1 l2 k1 k2 1YAd kx0 y0bk  (1)22kx0 y0bk21此方法拓展思路，以XB(完整版)初中函数概念--第1页(完整版)初中函数概念--第1页如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2）则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为x1 x22y1 y225、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y  kx（k0）中的常数 k。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y  kx b（k0）中的常数 k 和 b解这类问题的一般方法是待定系数法6、 （1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于 y 轴2）当 k>0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高） ；（3）当 k<0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增大而减小从左至右图象是下降的（左高右低） ；（4）当 b>0 时，与 y 轴的交点（0，b）在正半轴；当 b<0 时，与 y 轴的交点(0,b)在负半轴当 b＝0 时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线（5）几条直线互相平行时 ，k 值相等而 b 不相等反比例函数反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数y k1（k 是常数，k0）叫做反比例函数反比例函数的解析式也可以写成y  kx的形式自变x(完整版)初中函数概念--第2页(完整版)初中函数概念--第2页量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k 是常数，k≠0)反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为 k 为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y 与 x 成反比变化，而正比例函数 y=kx(k≠0)是正比例关系：由2、反比例函数 y=y=k (k≠0)，因为 k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。

xk(k≠0)的图象的画法画图方法：描点法x由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称特点：y=k=kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交但无限靠近 x 轴、yx轴画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来3、反比例函数的性质和图像反比例函数k 的符号y图像Ox①x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限在每个象限内，y随 x 的增大而减小k>0y k(k  0)xk<0yOx①x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限在每个象限内，y随 x 的增大而增大性质4、反比例函数解析式的确定确定的方法仍是待定系数法由于在反比例函数y 一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义如下图，过反比例函数y k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的xk(k  0)图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积xS=PM•PN=y • x  xyy 二次函数二次函数k, xy  k , S  kx21、二次函数的概念：一般地，如果y  ax bx  c(a,b,c是常数，a  0)，那么 y 叫做 x 的二次函数y  ax2bx  c(a,b,c是常数，a  0)叫做二次函数的一般式完整版)初中函数概念--第3页(完整版)初中函数概念--第3页2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于x  b对称的曲线，这条曲线叫抛物线2a3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y  ax bx  c与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与 x 轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像4.求抛物线的顶点、对称轴的方法2b4ac b2bb 4ac b2（，）（1）公式法：y  ax bx c  ax ，∴顶点是，对称轴是直线x  2a4a2a2a4a22（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y  ax  h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线2x  h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点若已知抛物线(x2, y)（及y值相同）上两点(x1, y)、，则对称轴方程可以表示为：x 5.抛物线y  ax bx  c中，a,b,c的作用2x1 x22（1）a决定开口方向及开口大小①当a  0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a  0时，抛物线开口向下；顶点为其最高点a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大。

② 平行于y轴（或重合）的直线记作x  h.特别地，y轴记作直线x  0.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y  ax bx  c的对称轴是直线x  故：①b  0时，对称轴为y轴；②③2b，2ab 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；ab 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a22（3）c的大小决定抛物线y  ax bx  c与y轴交点的位置.当x  0时，y  c，∴抛物线y  ax bx  c与y轴有且只有一个交点（0，c） ：①c  0，抛物线经过原点; ②c  0,与y轴交于正半轴；③c  0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则6 6、、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y  ax bx  c(a,b,c是常数，a  0)（2）顶点式：y  a(x  h)  k(a,h,k是常数，a  0)2（3）交点式：当抛物线y  ax bx  c与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax bx c  0有实根x1和x2存在222b 0.a时，根据二次三项式的分解因式ax bx  c  a(x  x1)(x  x2)，二次函数y  ax bx  c可转化为两根式22y  a(x  x1)(x  x2)。

如果没有交点，则不能这样表示几种特殊的二次函数的图像特征如下：(完整版)初中函数概念--第4页(完整版)初中函数概念--第4页函数解析式开口方向当a  0时开口向上当a  0时开口向下对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)y  ax2y  ax2 ky  ax  h2x  0（y轴）x  0（y轴）x  hx  hx  b2ay  ax  h k2y  ax2bx  cb24acb2y  a(x) 2a4ab4ac b2，()2a4a7、二次函数的最值4ac b2b如果自变量的取值范围是全体实数， 那么函数在顶点处取得最大值 （或最小值） ， 即当x  时，y最值4a2a如果自变量的取值范围是x1 x  x2，那么， 首先要看b是否在自变量取值范围x1 x  x2内，若在此范围内，2a4ac b2b则当 x=时，y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 x  x2范围内的增减性，如果在此范围4a2a22内，y 随 x 的增大而增大，则当x  x2时，y最大 ax2bx2 c，当x  x1时，y最小 ax1bx1 c；如果在此范围22内，y 随 x 的增大而减小，则当x  x1时，y最大 ax1bx1 c，当x  x2时，y最小 ax2bx2 c。

8、二次函数的图象函数二次函数y  ax bx  c(a,b,c是常数，a  0)a>0y图像0xa<0y012x(完整版)初中函数概念--第5页(完整版)初中函数概念--第5页（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=b，2ab，2a4ac b2b顶点坐标是（，） ；4a2a（3）在对称轴的左侧，即当 x<性质4ac b2b顶点坐标是（，） ；4a2abb时，y 随 x（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y 随 x2a2a的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>b时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2ab时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（4）抛物线有最低点，当 x=增右减；bb时，y 有最小（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最2a2a大值，y最大值值，y最小值9. 抛物线的交点4ac b24a4ac b24a（1）y轴与抛物线y  ax bx  c得交点为(0,c).（2）抛物线与x轴的交点：二次函数y  ax bx  c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方2程ax bx  c  0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式22  b2 4ac判定：①有两个交点(  0)抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）(  0)抛物线与x轴相切；③没有交点(  0)抛物线与x轴相离.（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax bx  c  k的两个实数根.（4）一次函数y  kx nk  0的图像l与二次函数y  ax bx  ca  0的图像G的交点，由方程组22y  kxny  ax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.2ky  ax bx  ca  0的 图 像 的 交 点 ， 由 方 程 组反 比 例 函 数y k 0的 图 像 与 二 次 函 数xky 的解来确定。

xy  ax2bxc0，Bx2， 0，由于x1、x2是（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y  ax bx  c与x轴两交点为Ax1，2(完整版)初中函数概念--第6页(完整版)初中函数概念--第6页方程ax bx  c  0的两个根，故x1 x2 2bc,x1 x2aa2b24cb24acAB  x1 x2 （x1 x2）  （x1 x2）4x1x2 （）aaaa2(完整版)初中函数概念--第7页(完整版)初中函数概念--第7页。