三角形添加辅助线技巧(带答案).pdf

三角形添加辅助线技巧三角形添加辅助线技巧图中有角平分线，可向两边作垂线图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连线段垂直平分线，常向两端把线连要证线段倍与半，延长缩短可试验要证线段倍与半，延长缩短可试验三角形中两中点，连接则成中位线三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，延长中线等中线三角形中有中线，延长中线等中线（一）作平行线（一）作平行线作平行线作平行线,构造全等三角形构造全等三角形1、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，D 点在 AB 边上，E 在 AC 边的延长线上，DE 交 BC 于点 F，BD=CE，求证：DF=EF.由 D 点作 BC 的平行线交 AC 于 G因为 DGBC，所以三角形 ADG 为等腰三角形，则：AD=AG因为 AB=AC，所以：BD=(AB-AD)=(AC-AG)=CG那么 C 为三角形 DEG 的边 EG 上的中点，DGBC根据中位线定理，则有：F 为 ED 的中点，即：DF=EF。

得证D DA AB BF FC CE E（二）作垂线（二）作垂线遇角平分线遇角平分线,在平分线上找点作角两边的垂线在平分线上找点作角两边的垂线,利用角平分线的性质利用角平分线的性质,通过三角形全等求解通过三角形全等求解2、如图，已知 OP 平分AOB，C，D 分别在 OA、OB 上，若PCO+PDO=180，求证：PC=PD.A AC CP PO OD DB B证明：过 P 做 PE 垂直于 OA 于 E,过 P 做 PF 垂直于 OB 为 F3、已知：如图，在ABC 中，AB=2AC，1=2，AD=BD，求证：CDAC.A A1 1 2 2C CB B证明：过 D 作 DMAB，垂足为 M,因为 AD=BD,所以 AM=BM=AB/2(三线合一)，因为 AB=2AC,所以 AC=AM,因为 AD 平分BAC，所以1=2，在 ADC 和 ADM 中,AC=AM,2=1,AD 为公共边，所以 ADCADM,所以ACD=ADM=90,即:CDAC(三三)倍长中线倍长中线,构造中位线构造中位线相等线段的倍长也等相等线段的倍长也等,借助中点作平行线借助中点作平行线,构造中位线构造中位线,利用中位线的性质求解利用中位线的性质求解4、已知：如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF.D DA AF FE EC CB B延长 AD 交 BM 于 M 点因为 D 为 BC 的中点,所以 ABMC 为平行四边形所以 BM=AC,因为 BE=AC所以 BE=BM,所以角 BEM=角 BME因为 BM/AC,所以角 CAM=角 BME=角 BEM因为角 BEM=角 AEF(对等角),所以 AF=EFD D5、如图，已知：AD 是ABC 的中线，且 CD=AB，AE 是ABD 的中线，求证：AC=2AE.A AB B已知 AD 是 ABC 的中线,AE 是 ABD 的中线,且 AB=BD,求证：AC=2AE可证明ABECBA（SAS）则EAB=ACB，AEB=CAB且ADB=ACB+CAD=DAB=EAB+DAE=ACB+DAE所以CAD=DAE AD 角 CAE 平分线可由角分线定理得 AC：AE=CD：DE=2AC=2AEE ED DC C6.如图，在ABC 中，D 是 BC 上的靠近 B 点的三等分点，E 是 AB 的中点，直线 AC 与 DE 交于点 F，求证：EF=3DE.F证明：找 CD 中点 G，连接 AG，再根据两个中位线证明比例关系7.在ABC 中，B=2C,M 为 BC 的中点，ADBC，求证：DM=1/2AB.AEBDCA取 AB 的中点 E，连接 DE、EM。

因为，DE 是 RtABD 斜边上的中线，所以，DE=BE=(1/2)AB，可得：BDE=B因为，EM 是ABC 的中位线，所以，EMAC，可得：DME=C因为，DEM=BDE-DME=B-C=C=DME，所以，DM=DE=(1/2)AB8.在正方形 ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O,CAB 的平分线交 BD 于点 F，交 BC 于点 G，求证：CG=2OF.BDMCAOF证明：找 CG 中点 E，连接 OE，证明 OF=GE四）截长（四）截长:9.已知：如图，ABC 中，AD 平分BAC，若C=2B,证明：AB=AC+CD.DBGCA在三角形 ABC 的边 AB 上截 AC1=ACBDC则对于三角形 ADC 和三角形 ADC1用三角形全等的边角边定理可知,这两个三角形全等所以 AC=AC1,DC=DC1，角 ACD=角 AC1D=2倍角 B又因为角 AC1D=角 B+角 C1DB，故角 C1DB=角 B，故 BC1=DC1=DC，所以 AB=AC1+C1B=AC+CD10.已知：如图，ABC 中，A=60，B 与C 的平分线 BE,CF 交于点 I，求证：BC=BF+CE.AFIEC解：在 BC 上取 BD=BF，连接 OD，因为 BF=BD，角 ABE=角 CBE，BO=BO，所以，三角形 BFO 全等于三角形 BDO，所以，角 BOF=角 BOD，OF=OD。

B因为角 BOC=角 ABE+角 BFC=角 ABE+角 A+角 ACF，而角 ABE=角 ABC/2，角 ACF=角 ACB/2，所以，角 BOC=角 A+（角 ABC+角 ACB）/2=角 A+（180-角 A）/2=90度+角 A/2=120度所以，角 BOF=角 BOD=角 COD=角 COE=60度；又因为 OC=OC，角 ACF=角 BCF，所以，三角形 COD 全等于三角形 COE，所以，OD=OE，CD=CE，所以，OE=OF，BC=BD+CD=BF+CE五）补短（五）补短11.已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为 AD 上一点，BF 平分CBE 交 CD 于 F，求证：BE=CF+AE.AEDF证：延长 DC 至 G，使 CG=AE，连接 BG 正方形 ABCD 中 AB=BC（正方形各边相等）A=BCF=90（正方形各角相等且为 90）A=BCG=90在BAE 与BCG 中 BA=BC A=BCG AE=CG BAEBCG（SAS）BE=BG（全等三角形对应边相等）ABE=CBG（全等三角形对应角相等）正方形 ABCD 中ABCD（正方形对边平行）ABF=BFC BFC=1+ABE=2+CBG=FBG FG=BG（等角对等边）BE=BG=GF=CG+CF=AE+CF家庭作业家庭作业1、如图，在ABC中，AD BC，BAD CAD，求证：AB AC。

AABC解：BDC2、已知：如图，正方形ABCD，1 2，Q 在 DC 上，P 在 BC 上求证：PA=PB+DQAD213QBPC解：解：延长 PB 至 G,使 BG=DQ,连接 AG则ADQABGAQD=G,DAQ=BAG又AQD=BAQ=BAP+QAP,DAQ=QAPBAG+BAP=BAP+QAP=AQD=G即G=PAGPA=PG即 PA=PB+QD3如图，已知 BD 平分ABC，AC=BC，C=90，AEBD 于 E，判断 AE 与 BD 的数量关系并证明.解：结论：BD=2AE证明：延长 AE 与 BC 的延长线交于 F因为 BD 平分ABC 且 BDAE，所以 AFB 为等腰三角形所以 AF=2AE，在 AFC 与 BDC 中，AC=BC，ACFBCD=90，CAF=CBD(等角的余角相等)所以 AFCBDCBD=AF=2AE4.如图 3，在ABC 中，A=90，AB=AC，D 为 AC 的中点，AEBD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F，求证：ADB=CDF解：作 CMAC,交 AF 的延长线于 M,AEBD,可得AEB=90,即BAE+ABE=90,由A=90，可得BAE+DAE=90,所以ABE=DAE，CMAC，可得ACM=90A，再加上 AB=AC，可证三角形 ABD 与三角形 CAM 全等，从而可得 CM=AD=CD,ADB=M由A=90，AB=AC，可得ACB=45,而ACM=90，ACB=MCB=45。

再加上 CF=CF,可证三角形 CDF 与三角形 CMF 全等，M=CDF 故ADB=CDF。