高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题.doc

完满版)高中数学数列放缩专题：用放缩法办理数列和不等问题(含答案)用放缩法办理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主假如先裂项求和，再放缩办理）例1．正数数列an的前n项的和Sn，满足2Snan1，试求：（1）数列an的通项公式；（2）设bn1，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn1anan12解：（1）由已知得4Sn(an1)2，n2时，4Sn1(an11)2，作差得：4anan22anan212an1，所以(anan1)(anan12)0，又由于an为正数数列，所以anan12，即an是公差为2的等差数列，由2S1a11，得a11，所以an2n1（2）bn1(2n11)1(11)，所以anan11)(2n22n12n1Bn1(111111)11123352n12n122(2n1)2真题操练1：(06全国1卷理科22题)设数列an的前n项的和,Sn4an12n12，n1,2,3,ggg333nn3.（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn2，n1,2,3,ggg，证明：TiSni1241n+12412解:(Ⅰ)由Sn=3an－3×2+3,n=1,2,3，,①得a1=S1=3a1－3×4+3所以a1=2再由①有S4－12n2，4,n－1=3an－13×+3,n=2,3将①和②相减得:annn－1=4nn－11n+1n=S－S3(a－a)－3×(2－2),n=2,3,整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,,所以数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,,所以an=4n－2n,n=1,2,3,,(Ⅱ)将ann代入①得S=4nn1n+121n+1n+1－2)=4－2n3×(4－2)－3×2+3=3×(2－1)(2n= 2×(2n+1－1)(2n－1)3T=2n=32n－1)=311Sn2×(2－1)(2n2×(2n－1－2－1)nn+1n+1所以,nTi=3n11)=3×(11)<32(2i－1－2i+1－1221－1－2n112i1i1二．先放缩再求和/11．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列an中，a11，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列．221设bnan，数列bn前n项的和为Tn，证明：Tnan．13解：∵A9A7a8a9，A8A9a9，a8a9a9，∴公比qa91a8．2111∴an(1n．bn4n．)14n(2)n32n21n()2（利用等比数列前n项和的模拟公式SnAqnA猜想）11∴Bnb1b2bn11112(122)1(11)13232232n3132n．132真题操练2：(06福建卷理科22题)已知数列an满足a11,an12an1(nN*).（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn滿足4b114b21L4bn1(an1)bn(nN*)，证明：数列bn是等差数列；（Ⅲ）证明：n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an12（I）解：Qan12an1(nN*),an112(an1),an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an12n.即an221(nN*).（II）证法一：Q4k114k21...4kn1(an1)kn.4(k1k2...kn)n2nkn.2[(b1b2...bn)n]nbn,①2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.②②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn,即(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.2③－④，得nbn22nbn1nbn0,即bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*),b是等差数列。