理论力学简明教程(第二版)陈世民答案.doc

第一章牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽要点分析与总结】1质点运动的描述(1) 直线坐标系r=xi+yj+zkD=r=xi+yj+zk•••••—•——•••••••••1a=t)=r=xi+yj+zk(2) 平面极坐标系r=rerv=rer+r0%a=(r-r02)er+(r0+2r0)efl(3) 自然坐标系v=uet2-•一V・一a=uet+——enP(4) 柱坐标系一―V2_a=uet+—enPv=pep+p6e0+zez〈析〉上述矢量顺序分別为：i；很;$局,氏；2，£，気；爲叵・-^=0ekxer=0ed矢量微分：=0ekxe=-0erdt^l=0ekxek=Odtkk（其它各矢量微分与此方法相同）微分时一定要注意矢量顺序2牛顿定律惯性定律的欠量表述-d2r旨dt2（1）直角坐标系中«Fy=my=mz（2）极挫标系中耳=m（r-r02）«吒=m（r©+2祐）F严3）自然坐标系中耳=muJFn=m—PFb=03质点运动的基本定理几个量的定义：动量P=mu角动量L=rxmu=rxP冲量••I=p2-p>力矩M=rxF冲量矩H=I2-I,=pMdt动能T12T=—mu2(1)动量定理©方向上动量守恒：—e,=Fef=Odt(2) 动量矩定理(3) 动能定理M旦dtFu=m—u=—dtdt4机戒能守恒定理T+V=E〈析〉势函数V：d—空dx+空dy+空dz“站dxdydz-=_(avT+av]+avc)dxdydz稳定平衡卜•的势函数:>0x=x此时势能处极小处VmfVM

求小环的速度J和加速度5解：依几何关系知：x=dtan0又因为:-.vdcotd2+x27U=XI=;—1=(O1cos2ed故:a=u=2xx-i=d2(d2+x2)xd22椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线0X与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，如图所示求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的人小u与a解：依题知：yB=(b+d)cos0且：yB=-C=-(b+d)0sin0得：弗肘而……*又因M点位置:xM=bsin0,yM=dcos0故有：uM=xMi+|yMj=b0cos0i-d^sin^j代入(*)式得：恥晋i-晋即：八爲血c讹+d，be2一二bcOt3=I)=—1=MM(b+d)sin20(b+d)2sin201一半径为r的圆盘以匀角速率①沿一-直线滚动，如图所示求圆盘边上任意一点M的速度J和加速度丑(以0、M点的连线与铅直线间的夹角0表示)；并证明加速度欠量总是沿圆盘半径指向圆心解：设0点坐标为(®Rt+x°,R)o则M点坐标为(eRt+x()+Rsin0,R+RcosO)故：uM=xMi+yMj=(69R+Rwcos0)i-RaM=uM=-Re，sin0i-R«2cosOj=-Re'(sinOi+cosOj)2一半径为r的圆盘以匀角深度3在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度u和加速度a（用参量B,中表示）。

解:依题知：＜p=且0点处：ek=cos(0-(p)er-s\n(O-(p)eo则:rM=+S=(R-r)eR+rer=[(R-r)cos(0-(p)+r]er-(R-r)sin(0-(p)e0J几=fM(0-0)sin(0-(p)er+[(R-r)cos(0-(p)+rJ0eo一(R-r)斛一0)cos(0-卩)爲+(R-r)0sh(0-(p)et=-r(wsin(0-(p)er+re[l-cos(°-

证明：设速度为u=uerodtp由于耳与耳为正交矢量8一质点沿心脏线r=/c(l+cos0)以恒定速率V运动，求出质点的速度J和加速度W・解：设v=rer+r0e0=0?c(-sin0卸+0k1+(os0re0)且有：陕(-sin0]j+[0K1+(^os0r]2=Q2解得：0=」^2cos—K2得：i=0K(-sin0今一usin—=ucos—17229已知质点按「=e",e=0t运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量解：(1)极坐标系下：由r==得：r=aea\6=p口设：u=rer+r^e0a=6=fer+9re0+(祐+rO)eo-r^2er=(a2-r^2)eater+2a^eate<贝lj:径向与横向的分量分别为(a2-r/^2)ea*,2a/3ea*10质点以恒定速率C沿一旋轮线运动，旋轮线方程为x=R(0+sin0),y=-R(l+cos0)o证明质点在y方向做等加速运动解:依题意:C2=x2+y2=R2(l+cos0)202+RM2sin20得：2Rcos—2贝I」：av=y=R(02cos0+0sin0)c24RCOS0.0cos*—21・q・2。

—sin0sin—21)30)COS—22e.2o「2cos—sin—C/22+sin遅4Rcos*—2cos追C24R11-•质点沿着抛物线y2=2px运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍若此质点从正焦弦的一端点(%,p)以速率u出发，求质点到达正焦弦的另一端点(%,-p)时的速率解：建立自然坐标系有：a=^er+^endtup皿务2哈一2喘一瓷一沁dedt—=-2kd0V积分得:u=ue"2k0(代入u0=u)又因为:=12在％,-P)点处斜率:“％故:0-|arctank2-arctankj=-|-即：u=ueknr•>得:=dt积分并代入t=0时u=0有:12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短解：设空气阻力为f，且小球初速为u,质量为没，则有：上升时间:上升高度:下落时间:得:即得证13质量为m的质点自离地面h高度处下落若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为c,试讨论此质点卜•落过程中的运动状况解：设加速度为a,速率为u,贝lj:ma=mg-Co2=mu知：质点一直在做向卜•的变加速运动，且加速度越来越小14将一质量为m的质点以初速度s与水平线成&角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的mk倍，这里k是常数。

试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为a角度时所需时间解：依牛顿第二运动定律有：加「=-m叽、加=-mg-m/a）v积分并代入初始条件：/=0时：uOx=u0sine,®”=u（）cos0解得:5=5cos%%,l>,.=（u0sinO+孚W-羊kk当再次夹角为a时：—=-tana可解出：心丄皿1+沁巴）kg15一质量为m的质点用一-长度为/的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为3%开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为廊的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是时，小环在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是/口，此时绳中的张得：t)K>/r=彳吨cos0Ft3〃gcos0sin&sin262tan033F［、i+_mg3〃gcos，0+—mg又因为:dp_2(3+tan20-2tan，0)ytan0(3+tan20)2tan0=5/3tan0=5/3即得证16滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一•个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为m的质点，如图所示当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率5下降若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。

已知弹簧作用力为W时的静止伸长入）解：（注：此题中处恋）设最人伸长为心有：“竽二?依能量守怛：£kX：-£仏$=~+〃禎鶴-几（））解得：為=入+5贝山17两个相同的轻质弹簧，劲度系数为斤，自然长度是厶，在它们中间竖直地串接一质量为m的质点弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是3%设开始时质点静止于AB的中点，求质点的运动规律17解：质点运动时势能(L)211ri、+—k一--xI4丿2I4丿V=-mgx+yk2v2kl2=一mgx+kx+——16在平衡时：#=-mg+2kx=0得:T2k且运动时受力满足：F=-=mg-2kx=mxdx代入初始条件：t=O,x=O,A=x（）可解得…煜!18两个质量都是m的质点A和质点B用一自然长度为厶的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示弹簧的劲度系数为仁两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到一大小为饥的恒力作用分别求处质点A和质点B的运动规律18M-：依受力分析知FA=mxA=k(xB-xA-l0FB=mxB=k(210+xA-xB)••••••*2二+*2得：xa+xb=A1om积分得：XA+xB=—t2+1。

2m代入笃得：文A二兰(企〜2xJm2m积分得：XA=h(仝丄+coset-1)42同理：xB=-At2+310-2xB)m2m积分得：Xb=午(—coset+5)式中辭另解：先将AB及弹簧看成-系统，其质心做一受恒力kl的作用，再将A与B解成绕质心做周期性振动，可得A的运动规律为质心运动与A振动的合运动，B亦然计算亦很简单！19一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示问质点滑至何处将脱离圆柱表面？解：将脱离时滑过相应角度为e。