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第四节 辅助角公式 降幂公式的熟悉应用 要求： 能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 一、将二倍角公式变形可得到的公式一、将二倍角公式变形可得到的公式 1降幂公式：降幂公式：sin2 _ ，cos2_， sin cos _. 2升幂公式：升幂公式：1cos _， 1cos _. 3半角公式：半角公式：sin2 1cos 2，cos2 1cos 2， tan2 1cos 1cos 1cos sin sin 1cos . 注意：注意：等号后的正、负号由等号后的正、负号由2所在的象限决定所在的象限决定 二、辅助角公式二、辅助角公式 asin xbcos xa2b2 sin()x ， 其中其中 sin ba2b2，cos aa2b2，即即 tan ba. 例一例一 利用辅助角公式将三角式化简 【例 1】 (1)f()2cos2 sin 的最大值是_ (2)设函数 f(x)(sin xcos x)22cos2 x(0)的最小正周期为 ， 则的值是_ 思路点拨：先降幂，再引入辅助角(通常是特殊角)将表达式化为两角和与差的三角函数 点评：(1)化简时要有整体意识，合理变形，为公式的应用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽可能的少 (2)对于形如 asin xbcos xc 或 asin2xbsin xcos xccos2xd 的三角函数式的化简通常都可通过引入辅助角配凑成两角和(差)的三角函数，达到化简的目的 1化简下列各式：化简下列各式： (1)12sin2()x82sin()x8cos()x8； (2)2sin2()4x 3cos 2x； (3)cos 4x4cos 2x3. 23a23 考点二 非特殊角三角函数求值 【例 2】 不用计算器求值 sin 50(1 tan 10) 思路点拨：将切化为弦，再设法应用辅助角公式 23sin 702cos210( ) A.12 B.22 C2 D.32 考点三 逆用三角公式进行化简（升幂公式、降幂公式的应用） 【例【例 3】 化简下列各式：化简下列各式： (1)12121212cos 2，()32，2 ； (2)cos2sin22tan()4 cos2()4. 思路点拨：思路点拨：(1)若注意到化简式是开平方根和若注意到化简式是开平方根和 2 是是 的二倍，的二倍， 是是2的二倍，以及其范围，不难找到的二倍，以及其范围，不难找到解题的突破口；解题的突破口；(2)由于分子是一个平方差，若注意到这一特征，不难得到解题的切入点由于分子是一个平方差，若注意到这一特征，不难得到解题的切入点 点评：点评：(1)在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于于 2 是是 的二倍，要熟悉多种形式的两个角的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意的倍数关系，同时还要注意 2，4，4 三个角的内在联系的作用，三个角的内在联系的作用，cos 2sin()2 2 2sin( )4 cos( )4 是常用的三角变换是常用的三角变换 (2)化简题一定要找准解题的突破口化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧是常用的化简技巧 (3)注意公式的变形，如注意公式的变形，如 cos sin 22sin ，cos21cos 22，sin21cos 22. 3 练习练习 3已知已知 sin()4x sin()4x 16，x()0，4，则，则 sin 4x_. 考点四 有关 sin x，cos x 的齐次式问题 【例【例 4】 已知已知2x0，sin xcos x15. (1)求求 sin xcos x 的值；的值；(2)求求sin 2x2sin2x1tan x的值的值 思路点拨：思路点拨：正余弦三兄妹正余弦三兄妹“sin x cos x，sin x cos x”的内在联系的内在联系“知一可求二知一可求二” 4已知已知sin 22sin21tan k()42，用，用 k 表示表示 sin cos 的值等于的值等于_ 2. (2012 广东卷广东卷)已知函数已知函数 f(x)2cos()x6(其中其中 0，xR)的最小正周期为的最小正周期为 10. (1)求求 的值；的值； (2)设设 ，0，2，f()55365，f()5561617，求，求 cos()的值的值 1角的变换是三角函数变换的核心，基本的技巧有：角的变换是三角函数变换的核心，基本的技巧有： (1)巧变角已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差巧变角已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变角的变换 如换 如 ()()， 2()()， 2()()， 22，2()2()2等等 (2)常值变换：主要指常值变换：主要指“1”的变换，如：的变换，如： 1sin2xcos2xtan x cot xtan4sin2. (3)正余弦三兄妹正余弦三兄妹“sin x cos x，sin x cos x”的内在联系的内在联系“知一求二知一求二” 2辅助角公式辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin()x ( (其中角其中角 所在的象限由所在的象限由 a，b 的符号确定，角的符号确定，角 的的值由值由 tan ba确定确定)在求最值、化简时起着重要作用在求最值、化简时起着重要作用 3由两角和、差的三角函数公式及倍角公式进行适当的变形还可得到以下一些重要结论：由两角和、差的三角函数公式及倍角公式进行适当的变形还可得到以下一些重要结论： (1)sin cos 2sin( )4； (2)(sin cos )21 sin 2； (3)1 tan 1 tan tan( )4 ； 运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数关系、三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数街所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点(3)对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如： cos()cos sin()sin cos ， tan() (1tan tan )tan tan ， tan()tan tan tan()tan tan 等 (4)万能公式：万能公式：sin 2tan21tan22，cos 1tan221tan22，tan 2tan21tan22. (属知识拓展属知识拓展) 万能公式的特点和作用：可将万能公式的特点和作用：可将 sin ，cos ，tan 统一用统一用 tan2的有理式表示出来万能公式其实可认的有理式表示出来万能公式其实可认为是二倍角公式的应用，如：为是二倍角公式的应用，如： sin 2sin2cos22sin2cos2sin22cos222tan21tan22. 。