2018常微分方程考研复试真题及答案.doc

常微分方程计算题2.指出以下方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t+t+( t-1)u=0（2） =*+y;〔3〕+=03.求曲线族y=Ce+C* e所满足的微分方程4．验证函数y= Ce+ Ce是微分方程y-4y=0的解，进一步验证它是通解5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程=2*6.什么叫积分一个微分方程.7．什么是求解常微分方程的初等积分法.8．别离变量一阶方程的特征是什么.9．求以下方程的通解（1） y＝sin*（2） *yy+1=y（3） tg*=1+y（4） =e*p(2*-y)（5） =（6） *yd*=(1- y+*-*y)d*〔7〕( *+1)( y-1)d*+*ydy=010.表达齐次函数的定义11．试给出一阶方程y＝f(*,y)或p(*,y)d*+ q(*,y)dy=0为齐次方程的特征说明二个方程的关系12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何.13．求解以下方程＝14．求解以下方程〔1〕〔*+2y〕d*—*dy=0 (2) =+15. =16(*+y)d*—2*ydy=017. =18―――――1920―――――――2728――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869―――7172――――8182――――8788――――9293――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――1222〔1〕未知函数u的导数最高阶为2，u,u,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。

2） 为y最高阶导数为1，而y为二次，故它是一阶非线性常微分方程3） 果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将*看着未知函数，它是一阶非线性方程3. 提示：所满足的方程为y－2 y+y=04．直接代入方程，并计算Jacobi行列式5.方程变形为dy=2*d*=d(*),故y= *+C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程微分方程的解又称为〔一个〕积分7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分8． y＝f(*,y)主要特征是f(*,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有*,另一因式仅含y，而方程p(*,y)d*+q(*,y)dy=0是可别离变量方程的主要特征，就像f(*,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积9（1） 积分得*=-cos*+c（2） 将方程变形为*ydy=(y-1)d*或＝，当*y0,y1时积分得＋y+ln+=c (3)方程变形为＝d*,当y-1,sin*0时积分得y=Csin*-1(4)方程变形为　e*p(y)dy=e*p(2*)d*,积分得e*p(y)＝ e*p(2*)＋C(5)当y1时，求得通积分ln=*+c(6)方程化为　*yd*=(1- y)(1+*)d*或d*=dy,积分得*－arctg*－ln+y=C(7)当*(y--1)0时，方程变形得d*+=0两边积分并化简得y＝1＋e*p(-*)10.二元函数f(*,y)满足f(r*,ry)=rf(*,y),r.>0,则称f(*,y)为m次齐次函数。

m=0则称它为0次齐次函数11．如果f(*,y)是0次齐次函数，则y＝f(*,y)称为齐次方程如果p(*,y)和q(*,y)同为m次齐次函数，则pd*+qdy=0为齐次方程如果q0则＝－ f(*,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(*,y)为0次齐次函数故y＝f(*,y)为齐次方程12． 求解齐次方程经常用变换y=z*.用函数乘积导数的公式得=*＋z13．这是齐次方程令y=z*, =*＋z,将方程化为z+*=,并即*＝别离变量得积分得ln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或＝C用z=y\*代入得原来的变量　*＋y＝Cy.注意y=0方程的解14．（1） 当*0时，方程化为=1＋2令y=u*,则原方程化为*=1+u,当1+u0时,可别离变量得u+1=c*:;通解为y=c*+*（2） 作变换y=u*,则原方程化为2udu=于是u=ln|*|+C,代回原变量，得通积分：y＝*〔ln|*|+C〕　15. 这是齐次方程令y=z*原方程化为－du=两边积分得　　－ln|z|=ln|c*|用z=代入得y=e*p()y=0也是原方程的解16.变形为=+　，令y=u*得==积分得-ln|1-u|=ln|*|--c,代原变量得通积分　*- y=c*17. 方程右边分子，分母两条直线交点为〔* , y〕=(-2,1)作变换u=*+2,v=y-1,原方程化为＝，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得＝C原方程通积分为　　y=*+c(*+y+1)+318―――――――1920――――2728―――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869――――7172――――8182――――8788――――9293――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――122. z.。