1.4极限的性质与四则运算法则.doc

第四节 极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设，（i） 若，则，当时，ii） 若，必有证明：（i）先证的情形取，由定义，对此，当时，，即 当时，取，同理得证 （ii）(反证法)若，由(i) 矛盾，所以 当时，类似可证注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“” 在(ii)中，若，未必有二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限定理1：若，则存在，且证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，，当时，有，取，当时，有 所以 其它情况类似可证注：本定理可推广到有限个函数的情形 定理2：若，则存在，且证明：因为，（均为无穷小），记， 为无穷小， 推论1：（为常数）推论2：（为正整数）定理3：设，则证明：设（为无穷小），考虑差： 其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以， 。

注：以上定理对数列亦成立定理4：如果，且，则推论1：设为一多项式，当推论2：设均为多项式，且，则例4】（因为）注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段例5】求解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 例6】求解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，，所以例7】求解：当时，，故不能直接用定理5，又，考虑：， 例8】若，求a,b的值当时，，且【例9】设为自然数，则 证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形： 【例10】求解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式例11】证明为的整数部分证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得三、课堂练习：四、布置作业：。