八年级数学上学期上册教案北师大版.pdf

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理（一）教学目标1 .经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系02 .探索并理解直角三角 形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题难点：勾股定理的发现教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系那么对于直角三角形的边,除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期数学家）二、做一做以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积三、想一想1、你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c。

那么我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.3、分别以5厘米和1 2 厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为1 3）请想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立）4,（想一想）：这里的2 9 英 寸（74厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？四、巩固练习精选练习，掌握应用：勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：练 习 1 （填空题）己知在 R t a A B C 中，Z C=9 0 o若 a=3,b=4,贝 ij c=；若 a=4 0,b=9,则=；若 a=6,c=1 0,则 b=_ _ _ _ _ _ _；若 c=25,b=1 5,则=o练习2（填空题）已知在 R t Z X A B C 中，Z C=9 0,A B=1 O 若 N A=3 0则 BO,A C=；若 N A=4 5 ,则 B C=_ _ _ _ _ _,A C=_ _ _ _ _ _ _.练习3已知等边三角形A B C 的边长是6 c m。

求：（1）高 A D 的长；（2）A A B C 的面积 S“BC1.1探索勾股定理（二）教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理.难点：用面积证勾股定理.教学过程一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边C 为边长的正方形，接着提问：大正方形的面积可表示为什么？,x 2 ab-4+c学生回答有两种可能：（1）（+）（2）2把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来1 ,(a+b)2=-ab-4+c2对上式进行化简，得到:+lab+b2=lab+c gp a+b=c2这就可以从理论上说明了勾股定理存在请用别的拼图方法说明勾股定理二、讲解例题例 1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了 2 0 秒，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。

如右图，图中4ABC的N C=9 0,A C =4 000米，c,-4A B=5 000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道2 0 秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，/由于 ABC的斜边A B =5 000米，A C=4 000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要/注意单位的换算/解：由勾股定理得B C?=A B?-A C?=5?-4?=9（千 米 与 A即 B C=3 千米飞 机 20 秒飞行3千 米.那 么 它 1小时飞行的距离为：2 x 3 =54020（千 米/时）答：飞机每小时飞行5 4 0 千米三、想一想：观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足+b-=c勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理1.2能得到直角三角形吗教学目的知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型.解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.情感态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。

难点：运用直角三角形判别条件解题教学过程一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题展示一根用1 3 个等距的结把它分成等长的1 2 段 的 绳 子师：同时握住绳子的第一个结和第十三个结生：同时握住第四个结和第八个结拉紧绳子，用量角器，测出这三角形其中的最大角问：发现这个角是多少？（直角教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3、4、5 ）,这三边满足了哪些条件？（3 2+4 2=5 2）,是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？二、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b.C o5、1 2、1 3 7、24、25 8、1 5、1 72 2 21、这 三 组 数 都 满 足+”=c吗？2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？如果三角形的三边长a、b、c 满足a2+2=c那么这个三角形是直角三角形满足/+/=c?的三个正整数，称为勾股数大家可以想这样的勾股数是很多的今后我们可以利用“三角形三边a、b、c 满足片+时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法三、讲解例题例 1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中N A与/BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：A D =4,A B =3,D C=1 2 ,B C=1 3,这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断aADB和4DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。

解：在 4 A B D 中，”2+4)2 =3 2+4 2 =9 +1 6 =2 5 =3 所以4ABD为 直 角 三 角 形 Z A=9 0 在4BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=13?=所以4BDC是直角三角形/C D B =9 0 四、随堂练习：1 .下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.(1)9,1 2,1 5；(2)1 5,3 6,3 9；(3)1 2,3 5,3 6；(4)1 2,1 8,2 2.2 .已知A A B C 中 B C=4 1,A C=4 0,A B=9,则此三角形为 三角形，是最大角.3 .四边形ABCD中已知A B=3,B C=4,C D=1 2,D A=1 3,且/A B C=9 0 ,求这个四边形的面积.五、读一读勾股数组与费马大定理直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a,b,c六、小结：1、满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2、满足a?+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.教学反思：这是勾股定理的逆应用勾股定理的理解掌握是关键1.3蚂蚁怎样走最近教学目标教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求：I.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学过程1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲 登 1 2米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则 A C=1 2 米，B C=5 米，AB是 梯 子 的 长度.所以在RtAABC中,A B2=A C2+B C2=1 22+5 2=1 3 2；A B=1 3 米.所以至少需1 3 米长的梯子.2、讲授新课：蚂蚁怎么走最近出示问题：有一个圆柱，它的高等于1 2厘米，底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(n的值取3).(1)自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗？(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA将圆柱的侧面展开(如下图).A我们不难发现，(l)A-A -B；(3)A f Df B；刚才几位同学的走法:(2)A-B -B；(4)A-B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.做一做：李叔叔随身只带卷尺检测A D,BC是否与底边AB垂直，也就是要检测Z D A B=90,N C B A=90.连 结 B D或 AC,也就是要检测DAB和4CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.随堂练习1 .甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8 ：0 0 甲先出发，他以6 千米/时的速度向东行走.1 时后乙出发，他以5 千米/时的速度向北行进.上午1 0：0 0,甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5 米，半径是1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5 米，问这根铁棒应有多长？1 .分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，1 0 ：0 0 时甲到达B点，贝 U A B=2 X 6=1 2(千米)；乙到达C 点,则 A C=1 X 5=5(千米).在 R t A A B C 中,B C2=A C2+A B2=52+1 22=1 6 9=1 32,所以B C=1 3 千米.即甲、乙两人相距1 3 千米.2 .分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x 米，则应求最长时和最短时的值.（1）X2=1.52+22,X2=6.25,X=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5,最短是 1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在23 米之间（包含2 米、3 米）.3.试一试在我国古代数学著作 九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸。