第一章 矩阵与线性方程组.doc

矩阵与线性方程组 9第一章 矩阵与线性方程组在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识一次方程又称为线性方程在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n个未知量和m个方程的线性方程组上去矩阵是解决这类问题的重要工具之一1.1 矩阵及其运算1.1.1 线性方程组及其矩阵表示 线性方程组（system of linear equations）的一般形式为 (1.1)显见，二元一次方程组是其特款方程组（1.1）中有m个方程、n个未知量ij代表第i个方程中未知量xj 的系数，bi 是第i 个方程的常数项当常数项b1 ，b2 ，…，bm 全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式（1.1）称为非齐次线性方程组当m、n较大时，方程组（1.1）的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间因此，我们将方程组（1.1）中未知量的系数简化成如下的m行n列矩形数表如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得到m行n+1列矩形数表对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。

将上述类型的数表抽象为如下的矩阵定义定义1.1 将m×n个数（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成一个矩形数表 A = (1.2)称为一个m行n列矩阵(matrix)，简称为m×n矩阵其中横向各排称为行，纵向各排称为列，m×n个数叫作矩阵A的元或元素；aij叫做矩阵A的第i行第j列元；所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵式（1.2）也简记为：A = (aij)m×n 或 A = (aij)一般情况下，我们用大写字母A，B，C，…表示矩阵本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵定义1.2 如果两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B即如果A = (aij)m×n, B= (bij)m×n , 且aij =bij (i=1,2,…, m ; j=1,2,…, n),则 A=B我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的为了说明线性方程组如何通过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算定义1.3 设矩阵A = (aik )m×l的列数与B= (bk j)l×n行数相同，则由元素 ci j=ai1b1j + ai2b2j +…+ ailbl j = (i=1,2,…, m ; j=1,2,…, n)构成的m行n列矩阵C = (cij)m×n=()m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积,记为 C=AB 如果记A =, x =, b =则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程 Ax=b (1.3)1.1.2 矩阵的基本运算及性质需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。

矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成为解决线性问题的有力工具矩阵已经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运算定义1.4 设有两个m×n矩阵A = (aij )m×n，B= (bi j)m×n，那么A与B的和记作A+B，规定为A+B=应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵，即它们的行数、列数分别对应相等时，这两个矩阵才能进行加法运算矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是m×n矩阵）(1) A+B= B+A(2) (A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A= (aij ),记 － A= (－aij )－A称为矩阵A的负矩阵, 显然有 A+(－A)=O由此规定矩阵的减法为 A－B=A+(－B)定义1.5 数l与矩阵A的乘积记作lA或Al,规定为lA=Al=设A、B为m×n矩阵，l、m为数，数乘矩阵满足下列运算规律 (1) (lm)A=l(mA) (2) (l+m)A=lA+mA (3) l(A+B)=lA+lB 这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。

下面给出一些矩阵基本运算的例子例1.1 设 A= B=则 A+B=例1.2 3=例1.3 矩阵乘法＝＝例1.4 矩阵乘法=例1.5 给定矩阵A= B= 则有 AB=== O BA==¹O由定义及例1.5可以看出，矩阵乘法与数的乘法有一些根本性的区别：（1）矩阵的乘法对相乘的两个矩阵在行数和列数上是有要求的，即乘积AB中A的列数必须与B的行数相一致，否则乘法无意义2）矩阵的乘法一般是不可交换的，即在一般情况下，AB¹BA实际上，AB有意义时，BA不一定有意义，即使有意义，两者也不一定相等3）两个非零矩阵相乘有可能变成零矩阵因而，由AB=O并不能推出A=O或B=O随之而来的是：由AB=AC，且A¹O，并不能推出B=C可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律（假设运算都是可行的）（1）结合律 A(BC)=(AB)C（2）分配律（A+B）C=AC+BC A(B+C)=AB+AC （3）对任一数k，有k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称为矩阵代数对于矩阵，还可以定义转置运算定义1.6 把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称为A的转置（transpose），记作AT(或At，或)。

例如矩阵 A=的转置矩阵为 AT=矩阵的转置满足如下运算规律（假设其中所涉及的运算都是有意义的）（1）(AT)T=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(lA)T=lAT（4）（AB）T=BTAT前三个规律是显然的，现在证明（４）：设A= (aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵于是　AT=()n×m　，BT=()p×n，其中 ＝aji ，＝bji BT AT中第i行第j列元为　　　　　　　　而（AB中第i行第j列元是AB中的第j行第i列元，即 所以 （AB＝BT AT　　　　 　　　　　　 　 　证毕设A为n阶方阵，如果满足AT=A，即 aij=aji (i,j=1,2,…，n)那么A称为对称阵对称阵的特点是：它的元以主对角线为对称轴而对应相等　　1.1.3 几种特殊形式的矩阵如果矩阵A = (aij) 行数与列数等于n，则称A 为n阶矩阵（或称n阶方阵）在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元称为对角元主对角线一侧所有元都为零的方阵称为三角形矩阵三角形矩阵有两种，分别称 或 为上三角形矩阵或下三角形矩阵。

主对角线以外全为零的n阶方阵L=称为对角线矩阵（diagonal matrix），简称对角阵，也可以记为L=diag(l1 ,l2 ,…,ln)主对角线上元都为1的n阶对角阵称为n阶单位矩阵（identity matrix），记为E或En在矩阵的乘法运算中，单位矩阵具有如下性质：对任意矩阵A，B，有EA =A，BE=B这里假设上述矩阵乘法都是有意义的　1.1.4 逆矩阵　　定义1.7 设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆阵，B是A的逆矩阵（inverse），简称逆阵；可逆阵也称为非退化阵或非奇异阵性质1.1 如果方阵A可逆，则A有唯一的逆阵证明 设矩阵B、C都是A的逆阵，则有B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以A的逆阵是唯一的 证毕由于可逆阵A的逆阵为唯一确定，所以可以用符号A－1表示，有A A－1＝A－1A ＝E利用逆矩阵的记号，可以方便地表示出某些线性方程组的解考虑由n个方程、n个未知量构成的线性方程组：其系数矩阵是方阵A =假设A可逆，则可对如上方程组的矩阵表示形式　　　　　　　　　　　　Ax=b两端同时左乘A－1，得到　　　　　　　　　A－1 Ax= A－1 b即　　　　　　　　Ex= A－1 b从而解得　　　　　x= A－1 b这说明，只要能够求得A－1，则利用矩阵的乘法，就可以求出方程组的解。

为了能求得A－1，需要进一步探讨逆矩阵的性质性质1.2 如果矩阵A可逆，且AB=E，则必有BA=E；如果矩阵A可逆，且BA=E，则必有AB=E证明 由A可逆，必有 A-1A=AA-1=E 又已知 AB=E于是有 BA=E(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E同理可以证明后一结论 证毕 性质1.3 如果n阶方阵A，B都可逆，则AB也可逆，并且（AB）-1=B-1A-1证明 由于（AB）(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E利用性质1.2直接可得(B-1A-1)（AB）=E所以A可逆，由逆阵的唯一性得:（AB）-1=B-1A-1 证毕这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即（A1A2…An）-1=An-1…A2-1A1-1性质1.4 如果方阵A可逆，则A-1可逆，而且（A-1）-1=A .证明 直接利用逆阵的定义即可证明性质1.5 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。

证明 假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义可知AA-1的第 i行全为零，这与AA-1=E矛盾所以A的每一行都不能全为零同理，A的每一列也都不能全为零 证毕性质1.6 如果方阵A可逆，则AT，kA（k为任一非零常数）都可逆，且（AT）-1=(A-1)T 及 （kA）-1=A-1证明 因为 AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E 以及（kA）（A-1）=(k)( A A-1)=E由性质1.2及定义即得结论1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法1.2.1 线性方程组的同解变换对于(1.1)所示的线性方程组，可以做如下的三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍这三种变换都称为初等变换应当指出，如上的变换是可逆的也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)具体讨论如下：（1）如果互换方程组(1.1)中第i,j两方程的位置，则对新方程再互换第i,j两方程的位置就变回。