线性代数模拟题(7套）.doc

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题 4 分，共 24 分)1、 若 是五阶行列式中带正号的一项，则 235ija ,12ij令 ， ，取正号知识点：行列式的逆,(123)(524)13序数)2、 若将 阶行列式 的每一个元素添上负号得到新行列式 ，则 = nDD(1)n即行列式 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 = )n3、设 , 则 = 10A10可得2 321213, ,00AL4、设 为 5 阶方阵， ，则 A515n由矩阵的行列式运算法则可知： 答案应该为 5 的 n 次方1n5、 为 阶方阵, 且 0 nTEEA则,0由已知条件：，21,1TTTAEAA而 ： 0TE6、设三阶方阵 可逆，则 应满足条件 203xy,xy32xy可逆，则行列式不等于零： 20()0323Axyxyxy二、单项选择题(每小题 4 分，共 24 分)7、设 ，则行列式 232131aa A 032311MaA． 8B． C． D．M8由于 1231313322338()8、设 阶行列式 ，则 的必要条件是 D 。

nn0A． 中有两行(或列)元素对应成比例 B． 中有一行(或列)元素全为零 DnC． 中各列元素之和为零 D．以 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解n n9、对任意同阶方阵 ，下列说法正确的是 C ABA. B. C. D. 11)(BATTAB)(B10、设 为同阶可逆矩阵， 为数，则下列命题中不正确的是 B 0A. B. C. D.1()1()11()1()()TT由运算法则，就有 1A11、设 为 阶方阵，且 ，则 C n0aA． B． C． D． a11nna因为 11nnAAA12、矩阵 的秩为 2，则 = D 1203aaA. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初等变换，由秩为 2 可得：10213735a:三、计算题(每小题 7 分，共 42 分)13、计算行列式： 41解： 。

3417111440==7=7=189各 列 加 到 第 一 列 提 第 一 行 乘 -到 外 面第 一 列 上 加 到 各 行 上14、计算行列式： 4432110abba解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：= 4432110ab2233142341()()babab15、问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解123()0()x解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：2312123()140410=2=+3,0,r16、设矩阵 ，计算 5AB21()BA解：因为 ，所以都可逆，有2,7212123152() ()491BABABA 17、解矩阵方程 ，求 ，其中 = AXBA35021,10B解： ,()()EXBE10231()A1()20XAB18、设 ，利用分块矩阵计算 52101解：1 111 1221205232,50130AA  四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)19、设 阶方阵 满足 ，证明矩阵 可逆，并写出 逆矩阵的表达式。

化nA30EA简方程证明：因为 ，32 20(3)AE从而 2 1()20、若矩阵 ，则称矩阵 为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩TAA矩阵证明：设 为 阶反对称矩阵， 为奇数，则nn，(1)0TTnTA所以 不可逆，即 不是满秩矩阵第二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题 4 分，共 24 分)1、 为 3 阶方阵,且 是 的伴随矩阵,则 = -4 A2,A* 1*4A因为： 11 14284  2、 为 5×3 矩阵,秩( )=3, ,则秩( )= 3 B30B因为 可逆， 相当于对 作列初等变换，不改变 的秩BAA3、 均为 4 维列向量， ， ，123,,123(,)A213(,)， ，则 = 40 1212312123123(,,)(,,)88, 8(40AB4、 ， ，且 ，则 = -4 12t4Tt13624Tt t5、如果 元非齐次线性方程组 有解， ，则当 n 时有唯一解；nAXB()RAr当 < n 时有无穷多解。

非齐次线性方程组有解的定义 6、设四元方程组 的 3 个解是 其中 ，如AXB123,123,45，则方程组 的通解是 )3R0213k因为 ，所以 的基础解系含 4-3=1 个解向量；又()A0X 都是 的解，相加也是 的解，从而可得2131,0AX0AX的一个解为：0AX，213123121453于是 的通解为： AXB1023Xk二、单项选择题(每小题 4 分，共 24 分)7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行8、 阶方阵 满足 ，其中 为单位矩阵，则必有 D n,ACEA. B. C. D.EBAEBCAE矩阵乘法不满足变换律，而 D 中 119、矩阵 的秩为 2，则 = D 1203ttA. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换，由秩为 2 可得： 。

101203736tt:10、若方阵 不可逆，则 的列向量中 C nAA. 必有一个向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合方阵 不可逆，则 的列向量线性相关， ，由定义可得nA11、若 r 维向量组 线性相关， 为任一 r 维向量，则 A mL21,A. 线性相关 B. 线性无关 ,21m ,,21mLC. 线性相关性不定 D. 中一定有零向量,由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关12、若矩阵 有一个 3 阶子式为 0，则 C 54A.秩( )≤2 B. 秩( )≤3 C. 秩( )≤4 D. 秩( )≤5 AAA由矩阵秩的性质可知： ，而有一个 3 阶子式为 0，不排除45min{,}R4 阶子式不为 0三、计算题(每小题 7 分，共 42 分)13、计算行列式 100abcd解：11101000 0() 11aaababdbbccccddd14、设 ， ， ， ，求矩阵 。

021A230C123BAYBCY解： 1011253YB15、已知三阶方阵 ，且 ，计算矩阵 A012ABEB 解：21|, 1201 00AABEB可 逆 ，16、求矩阵 的秩，并找出一个最高阶非零子式32317058解：42134213422321307907970 1: :， 最高阶非零子式是 )RA125,17、写出方程组 的通解1234xx解：2130341032112022356:::3130()122xXccR1=-18、已知 R3 中的向量组 线性无关，向量组 ，31,1223,bkb线性相关，求 k 值31bk解： ，2312233131230b kk由 线性无关，得 ，321, 112 23 30因为 相关，所以 有非零解，故系数行列式=0，得 。

123,b12, 1k四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)19、设 为 阶方阵，若 ，则秩 秩 ABn0AB()Bn证明：因为线性方程组 ，当秩 时，基础解系为 个，由xrr0),,(),(2121 nnAbbLL则有 ，即 B 的列均为 的解，这些列的极大线性无,0jAbj x关组的向量个数≤ 即秩( ，从而秩 rnrn) nB)(秩20、如果 线性相关，但其中任意 3 个向量都线性无关，证明必存在一组全不1234,为零的数 ，使得 k1240kk证明：因为 线性相关，所以存在一组“ 不全为零”的数 ，1234, 1234,k使得 ， 如果 ，则340kk1k，且由于 不全为零，所以2234, 234,线性无关，与题设矛盾，所以 ；1k同理，可证明 2340,,0k第三套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题 4 分，共 24 分)1、已知三阶行列式 ， 表示它的元素 的代数余子式，则与12356789DijAija对应的三阶行列式为 2123aAbc123789bc由行列式按行按列展开定理可得2、 均为 阶方阵， ，则 = 。

Bn3AB12A()n 由于： 111()()()22nnnABAB3、 ，则 = 0431()E01由于 10000122214、向量组 线性 无 关123(,3)(,1)(,5)因为： 21204003545、设 6 阶方阵 的秩为 5， 是非齐次线性方程组 的两个不相等的解，则A,Axb的通解为 xbXk由于 ，所以 的基础解系只含一个向量： ，故有上通解)R0x6、已知 为 的特征向量，则 1x2153Aab3;0ab112312 0x abb二、单项选择题(每小题 4 分，共 24 分)7、 ，12132122311333 1, ,0aaaABP，则 D 102PA． B． C． D． P21PA12 BAP12 BAP21对 A 作行变换，先作 ，将第一行加到第三行上，再作 ，交换一二行。

8、 元齐次线性方程组 有非零解。