概率统计简明教程(同济)Cha.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,Chapter 2 事件的概率,对于一般的随机事件,它在一次随机试验中可能发生,也可能不发生.,,我们常常希望知道该事件在一次试验中发生的可能性大小,如,,一批产品的,次品率,: 5%(,P7,)?,,某射手的,命中率,等: 0.9,?,,它们就是该事件的概率.,第一节 概率的概念,,概率的存在性?,,,共识,: 尽管随机事件发生与否具有随机性, 但在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的,且可以度量.,概率的统计定义?,,,,在一次随机试验中,随机事件,A,发生的可能性大小称为事件,A,的概率,记为,P,(,A,).,,,上述概率的直观定义源于随机事件频率的研究.,,,在,n,次试验中事件,A,发生的频率,,f,n,(,A,) =,A,出现的次数,/,试验次数,n,.,,,随着试验次数的增加, 频率具有稳定性. 就抛一枚均匀的硬币来说, 随机事件,A,: “正面朝上”,,A,发生的频率在0.5附近波动,且越来越接近0.5, 这时,P,(,A,) = 0.5.,,,概率就是频率的稳定值, 它揭示的随机事件发生的,统计规律性,.,实际用处: 当试验次数较大时, 可用事件的频率作为概率的近似值.,,思考,如何实现,P,(,A,)?,,,,概率的统计定义并未给出任何计算概率的方法和规则.,,,概率的统计定义直观, 但在理论上是不严格的(参见本章第四节).,思考,频率具有哪些的性质?,,(1),,(2),,(3),, (,i,,j,),概率具有哪些的性质,?,,(1),,(2),,(3),, (,i,,j,),第二节 古典概型,(概率模型),古典概型,:,,(1) (,有限性,)试验只有有限个可能结果;,,,(2) (,等可能性,)每个试验结果出现的可能性相同.,由有限性, 可设试验共有,n,个可能结果. 由等可能性知, 每个试验结果出现的可能性为1/,n,.,,若随机事件,A,包含,k,个试验结果,则,A,的概率为,,,,,n,= ?,k,= ?,,计数要用到加法原理和乘法原理.,例,1(P8),,Solution,A,= {两件都是次品},,B,= {第一件是次品, 第二件是正品}.,,放回抽取:,,,,,不放回抽取:,,例,2(P9),,Solution,A,= {不重复的六位数},,B,= {末位数是8的六位数}.,,例,3(女士品茶问题),,Solution,A,= {10次试验中都能正确指出放置牛奶和茶的先后顺序},,,,,小概率事件的“实际推断原理”:小概率事件在一次试验中不会发生.,例,4(抽奖券问题),,Solution,A,= {第,k,位顾客中奖},,,,,,,课堂: P15, 1, 2, 3.,补例1,掷两枚骰子, 求事件,A,为出现的点数之和为3的概率.,,,S,= {2, 3, …, 12}?,,,S,= {(1,1), (1,2), …,(6,6)}(OK!): |,S,| = 36；,A,= {(1,2), (2,1)}.,,补例2,对于一元二次方程,x,2,+,Bx,+,C,= 0, 其中系数,B,和,C,取值是随机的, 分别取将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,求方程有不同实根的概率.,,Hint,,(1)|,S,| = 36;,,(2),B,2,/4>,C,: |,A,| = 17.,,第三节 几何概型,,几何概型,:,,(1) (,无限性,)试验结果无限;,,(2) (,等可能性,)每个试验结果出现的可能性相同(,?,).,,设所考虑的(区间\平面\空间)区域为,,(,?,),,试验结果是,,内的随机点,, 用事件A表示试验结果落在,,的一个子区域,S,A,内, 则,,,,例,5(P10),,,Solution 用,T,表示乘客到达时刻, 记,,A,= {乘客等候不到5min上车},,B,= {乘客等候超过10min上车},,例,6(Buffon投针问题),,,,,,,,,针与,OM,的夹角为,,.,,,,,,第四节 概率的公理化定义,,Kolmogorov(1933):,,公理1(,非负性,),,公理2(,规范性,),,公理3(,可列,可加性,),, (,i,,j,),,,称,P,(,A,)为事件,A,的概率,.,未解决如何确定概率的问题.,,,由概率的公理化定义可以得出概率的以下性质.,,性质,1,P,(,,) = 0.,,Proof,, , …, , …,,P,(,    …   …,) =,P,(,,),,P,(,    …   …,) =,P,(,,) +,P,(,,) +…+,P,(,,) +…,,P,(,,) +,P,(,,) +…+,P,(,,) +…=,P,(,,),,性质,2,,Proof,,=,A,    …,,,,,,性质,3(,有限可加性,) 两两不相容事件,A,1,,,A,2,, …,,A,n,:,,,Proof,,A,1,,,A,2,, …,,A,n,,,, , …,,,性质,4(,减法公式,),P,(,A,-,B,) =,P,(,A,) –,P,(,AB,),,Proof,A,–,B,=,A,–,AB,.,,,(1),A,= (,A,-,B,),,AB,,(2) (,A,-,B,),,AB =,,,由性质3, 知,,,推论,若,A,,B,, 则,P,(,B,-,A,) =,P,(,B,) –,P,(,AB,) =,P,(,B,) –,P,(,A,),≥ 0,.,性质,5(,加法公式,),,P,(,A,,B,) =,P,(,A,) +,P,(,B,) -,P,(,AB,),,Proof,A,,B,=,,(,A,–,B,),,,B,,由性质3, 得,,,,,推广(see below)?,(I),,,,,,(II),,,例7(P13,),,,例,8(生日问题),,A,={,n,个人中没有2人生日相同},,B,={,n,个人中有2人在同一天},,,,课堂: P16, 10,11.,,,作业: P15, 4,5,6,7,8,9,。