关于等式与不等式的基本证明.pdf

学习必备欢迎下载关于等式与不等式的基本证明关于等式与不等式的基本证明一、考试内容一、考试内容（一）介值（一）介值定理介值介值定理：若f (x)在[a,b]上连续，且f (a)  f (b)，对于f (a), f (b)之间的任一个数C，（ a,b）(a,b)，使f ()  C．介值介值定理推论 1（零点零点定理） ：若f (x)在[a,b]上连续，且f (a) f (b)  0，则(a,b)，使f ()  0． （ a,b）介值介值定理推论 2（零点零点定理） ：若f (x)在(a,b)内连续，且f (a ) f (b )  0，则(a,b)，使f ()  0． （ a,b）介值介值定理推论 3（零点零点定理） ：若f (x)在(,)内连续，且lim f (x) lim f (x)  0，xx则(a,b)，使f ()  0． （ a,b）介值介值定理推论 4：若f (x)在[a,b]上连续，fmin(x)  m，fmax(x)  M，且M  m，对于m,M之间的任一个数C，则(a,b)，使f ()  C． （可能取到a或b）（二）积分（二）积分中值定理定积分定积分中值定理：若f (x)在[a,b]上连续，则(a,b)，使bbbaf (x)dx  f ()(ba)．定积分定积分中值定理推论 1：设f (x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则(a,b)，使af (x)g(x)dx  f ()g(x)dx．a对于定积分对于定积分中值定理及其推论 1，可能取到a或b．（三）微分（三）微分中值定理罗尔罗尔中值定理：若f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f (a)  f (b)，则(a,b)，使f ()  0．罗尔罗尔中值定理的推广形式1：若f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f (x)有n  2个不同的零点，则f '(x)在(a,b)内至少存在n1个不同的零点．罗尔罗尔中值定理的推广形式2：若f (x)在(a,b)内可导，且f (a )  A  f (b )，则(a,b)，使f ()  0．罗尔罗尔中值定理的推广形式3：若f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f '(x)  0，则则f (x)在(a,b)内为单调函数．拉格朗日拉格朗日中值定理：若f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则(a,b)，使f (b) f (a)  f ()(ba)．（四）不等式（四）不等式定理凹凸不等式TH1：f (x)  ()0,则则f (x) f ((1)y)  () f (x(1)y),(0,1)．f (x) f (y)x y () f ()．22凹凸性不等式定理 2： 当x[a,b]， 且f (a)  f (b)  0， 若若f (x)  ()0,则则f (x)  ()0．特别有特别有积分积分不等式定理：若f (x)  g(x)，则特别有特别有若f (x)  0，则bbaf (x)dx g(x)dx（a  b） ，但反之不然．abbaf (x)dx  0（a  b） ，但反之不然．积分积分估值定理：若f (x)在[a,b]（a  b）上连续，则fmin(x)(ba) f (x)dx  fmax(x)(ba)．a积分绝对值积分绝对值不等式定理：ba．f (x)dx f (x) dx（a  b）ab学习必备欢迎下载二、典型例题二、典型例题题型一题型一恒等式证明及其逆问题恒等式证明及其逆问题主要方法：求导法、积分法（换元（序） 、分部） 、待定系数法、反证法例例 1 1、、设0  x 2，求证：f (x) sin2x0arcsin tdt+cos2x0arccos tdt 4.02证：易得f '(x)  0，则f (x)  f (0) 例例 2 2、、f可积,证明： （1）（2）并利用（1）计算10arccos tdtarccos t =uud cos2u 4.（换）f (sin x)dx；0xf (sin x)dx 20f (sin x)dx 200xsin6xdx 5232.例例 3 3、、设f (x)为连续函数，且满足提示：x0tf (xt)dt  xarcsinx，求f (x)．x0tf (x t)dtx t  ux0(xu) f (u)du  xarcsinx，两边对x求导得x0f (u)du 1(1 x2)1 2，两边对x再求导得f (x)  x(1 x2)3 2．2例例4 4 、、 设F(x)为f (x)的 原 函 数 ， 当x  0时 ， 有f (x)F(x)  sin 2x， 且F(0) 1,F(x)  0，试求f (x) .F (x) 2  x 2sin4x 8C，解：F(x)F(x)dx sin22xdx，由F(0) 1知C 1 2，2F(x)  0，F(x) xsin4x 41，f (x)  (1cos4x)例 5、f (x)可导，g(x)为其反函数，f (1) 0，证明：dx04xsin 4x4.f (x)01g(y)dy  2xf (x)dx．01提示：令F(x) f (x)02g(y)dy，则左[xF(x)]10xF '(x)dx  x df (x) 右．0011例 6、设f (x)连续，证明：提示：提示：10dx1x11f (x)f (y)dy=[f (x)dx]2．2011换元0x10dyf (y)f (x)dx  I dxf (x)f (y)dy 0y换序10dyf (y)f (x)dx，y1则则2I 10dyf (y)f (x)dx f (x)dxf (y)dy [f (x)dx]2．(也可采用轮换性)0000x01111例例 7 7、、若f (x)  (1 x2)1lim f (x) 1 x2解：令lim f (x)  a,x010f (x)dx1,求lim f (x)与f (x)dx.x01010f (x)dx b，则f (x)  a(1 x2)1b 1 x211aa22，a  lim[b 1 x 1] ab1b (b 1 x 1)dx ab101 x2x01 x24由上述两式解之得lim f (x)  a  (8)x0,10bf (x)dx b 1.f (x)dx  0，则在[a,b]上，f (x)  0．例 8、设f (x)在[a,b]上连续，且f (x)  0，若a证明：用反证法，假设x0(a,b), f (x0)  0，则(x0,x0)  (a,b)( 0)f (x)  0，则f (x)dx abx0x0f (x)dx积分中值定理2f ()  0,(x0,x0).这与baf (x)dx  0矛盾，故原式得证．学习必备欢迎下载题型二题型二方程根的存在性与中值问题方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法直接对f (x)使用介值定理（1）f (x)在[a,b]或(a,b)上连续， 则利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例 1、 设f (x)在(,)上连续， 且lim f (x) x  0， 证：(,)使f ()  0．x提示：设F(x)  f (x)  x，则F(x)在(,)上连续，xlim F(x)  lim x[1 f (x) x] ，x1 0，使F(x1)  0x同理，由lim f (x)  ,x2 0，使F(x2)  0，故F(x)在[x1, x2]上满足零点定理．x例 2、f (x)在[a,b]上连续，xi[a,b],ti 0(i 1,2,,n)，且求证：[a,b]使f () ti1ni1，ti1ninf (xi)． （此为{f (xi)}1的加权平均值）提示：m  f (x)  M， 有m 进一步，m  (ba)1mt tii1i11nnif (xi) Mti M．i11nbamdx  (ba)babaf (x)dx  (ba)baMdx  M1则(a,b)，使f ()  (ba)f (x)dx． （此为f (x)在[a,b]上的平均值）例 3、 设ak是满足(1)k1nkak(2k 1) 0的实数， 证：akcos(2k 1)x  0在(0,2)k1n内至少有一实根． （构造F(x) ak1nksin(2k 1)x (2k 1)在[0,2]上用罗尔 Th）例 4、设y  f (x)为[0,1]上的任一连续函数，且求证：f (x)(1 x)  0在(0,1)内至少有一根．110f (x)dx xf (x)dx01提示：构造F(x) f (t)(1 t)dt在[0,1]上用罗尔定理；或用积分中值定理．x（2）f (x)在[a,b]或(a,b)上可导， 则直接对f (x)使用中值定理数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函例 1、设f (x)在[1 2, 2]连续，在(1 2, 2)上可导，且2试证：(0,2)，使f '()  0． （提示：f (2)  211 2f (x)dx  f (2)，11 2f (x)dx  f (),(1 2,1)）例 2、设f (x),g(x)在[a,b]连续，在[a,b]上可导，且对于x(a,b)有g(x)  0试证：(a,b)，使f () g() [ f () f (a)] [g(b) g()]．提示：令F '(x)  f '(x)g(x) f (x)g'(x) f '(x)g(b) f (a)g'(x)，构造函数F(x)  f (x)g(x) f (x)g(b) f (a)g(x)在[a,b]上用罗尔 Th．例 3、设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导求证：(a,b)，使n1bn1[nf ()f ()]ba f (a)an A．f (b)f (x) xnf (x)，构造F(x)  xnf (x)在[a,b]上使用 Lagrangen1nn（2）令F '(x)  nxf (x) x f (x) A，构造F(x)  x f (x) Ax在[a,b]上使用罗尔．提示： （1）令F '(x)  nxn1学习必备欢迎下载例 4、设f (x)在a,b上一阶可导，f (a)  0，f '(a)  0，f (b)<0，证明： （1）存在(a,b)，使f ()  0； （2）存在(a,b)，使f '()  f ()．提示： （1）由保序性，x1a,a，使得fx10，由零点定理知（1） ．（2）fx存在两个零点a,，则Fxexfx在a,b上有两个零点，用Rolle 定理．注：若结论出现f '() p() f ()  0，则令Fx ep(x)dxfx．fxq(x)dx．注：若结论出现f '() p() f ()  q()，则令Fx ep(x)dx题型三题型三非积分不等式非积分不等式主要方法（1）构造f (x)，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.（2）利用函数的凹凸性.（3）利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值.（4）利用中值法证明不等式.例 1、设x(0,1)，求证：(i)(1 x)ln (1 x)  x； (ii)提示：(i)令f (x)  ln(1 x) x2211111．ln2ln(1 x)x21 x或g(x)  (1 x)ln2(1 x) x211g(x)h(1) h(x)  h(0 )．，则h'(x) 2 0(ii) 令h(x) ，有2ln(1 x)xx (1 x)ln (1 x)e例 2、比较e 与的大小．xee提示：x  e，比较e 与x的大小，取对数构造f (x)  xeln x，易证e．例 3、 设f (x),g(x)二阶可导， 当x  0时，f (x)  g(x)， 且f (0)  g(0)，f (0)  g(0)，求证：x  0时，f (x)  g(x)． （提示：令F(x)  f (x) g(x)，需两次求导）例 4、当0  x 2时，sin xtan x  2x . （令f (x)=sin x tan x2x）提示：f '(x)  cosxsec2x2 2 cosxsec2x 2=2( secx 1) 0．例 5、当x  0, y  0时，求证：xln x yln y  (x y)ln[(x y) 2]．提示：令f (t)  tlnt, f (t)  0[ f (x) f (y)] 2  f[(x y) 2]．例 6、当0  x 时,sin(x 2)  x．提示：令f (x)  sin(x 2) x, 则当0  x 时,f (x)  sin(x 2) 4  0，故该函数的图形在(0,)内是凸的，又f (0)  f ()  0, 因此f (x)  0．2例 7、设e  a  b  e，求证：ln bln a  4e (ba)2提示：令f (x)  ln x4e x,要证f (b)  f (a)，可证当e  x  e时，f (x)单调增．2注 1：令g(x)  ln xln a4e (xa)，可证e  x  e时，g(x)单增，则g(b)  0．22222222h(b)h(a)212可证e  x  e时，xln x  2e． 4e2，ba22注 3： 设ab  0， 证：2a [ln ba ln a]b(2ab)．（x  b a  0,ln(1  x)  x x2）注 2： 令h(x)  ln x,要证h'() 2例 8、若0  y  x及p 1，求证：pypp1(x  y)  xp yp pxp1(x  y)．提示：令f (t)  t，在[x, y]上对f (t)应用拉氏定理．例 9、设0  x 1, p 1，求证：2pp1p xp(1 x)p1．提示：令f (x)  x (1 x)，求其在[0,1]的最值．例 10、 在[0,a]上，f (x)  M， 且f (x)在(0,a)内取最大值， 求证：f (0)  f (a)  Ma．提示： 设f (c)  max[ f (x)],0  c  a,则f (c)  0， 在[0,c],[c,a]对f (x)分用拉氏定理．0xa学习必备欢迎下载题型四题型四积分不等式积分不等式主要方法（1）应用定积分的不等式性质(比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 )（2）函数的单调性（凹性） （构造辅助函数）积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）常伴于其中例 1、 设I （A）48(x tan x)dx, J 48(tan x x)dx， 则有----------------------------------- （C） I  J  ln2（B） J  I  ln2（C）I  J  ln2(D) I  ln2  J88888(tan x)}.提示：max{8,sin x} x x tan x 1 tan x x  min{1 x，例 2、设f (x)连续为正， 则1 21 2f(arcsin 2x)dx2220f(x2)dx.（令arcsin2x t）提示：若出现对称区间，注意对称奇偶性；若出现不同区间，注意换元.例 3、 设设Dk是是D  (x, y) | x  y 1的第的第k象限的部分，象限的部分， 记记Ik2Dk(y  x)d，， 则则 （（B B））（（A A））I1 0（（B B））I2 0（（C C））I3 0（（D D））I4 0提示：由轮换性知提示：由轮换性知I1 I3 0,由不等式性质知由不等式性质知I2>0,I4<0．．( (有时也会用对称有时也会用对称奇偶性) )例 4、设f (x)在[a,b]上连续且严格单增，求证：(ab)提示：令F(x)  (a x)a0baf (x)dx  2xf (x)dx.abxaf (t)dt 2tf (t)dt,则x[a,b]时，F(x)  0.ax例 5、设f (x),g(x)在[0,1]上有连续的导数，且f (0)  0, f '(x)  0,g'(x)  0求证：对a[0,1]，提示：令F(a) f '(x)g(x)dxf (x)g'(x)dx  f (a)g(1).0101a0f '(x)g(x)dxf (x)g'(x)dx  f (a)g(1)，则F '(a)  0．例 6、设f ,g在[a,b]上连续，且证明：xaf (t)dt g(t)dt,x[a,b)，f (t)dt g(t)dt，axbbaaabxf (x)dx xg(x)dx.ab提示：令F(x)  f (x) g(x)，G(x) aF(t)dt，bbbaax由题设G(x)  0，x[a,b)，G(a)  G(b)  0，G(x)  F(x).从而baxF(x)dx xdG(x)  xG(x)aG(x)dx  G(x)dxab由于G(x)  0，x[a,b]，故有aG(x)dx  0.ba1af (x) dxf (x) dx.00a1a1a1a证法证法 1 1：f (0) f (x) dx [ f (0)  f (x)]dx f (x) f (0) dxa0a0a0a1ax1ax1aa f '(x)dx dx [f '(x) dx]dx [f '(x) dx]dx f (x) dx.0a00a00a00例 7、设a  0，f (x)在[0,a]上导数连续，证明：f (0) 证法证法 2 2：f (x)dx  f (ξ)a，则f (x)dx a  f (0)  f (ξ) f (0) f (x)dx000aaξa1a1af (0)f (x) dxf (x) dx f (x)dxf (x)dx.00a0a0学习必备欢迎下载三、课后练习三、课后练习1（A） 、证明：当x 1，总有arctan[(1  x) (1 x)] arctan x 4．2（A） 、求证：aln f (xt)dt 01x0ln[f (1t) f (t)]dt ln f (t)dt． （换元与求导）013 3（B） 、设f (x)、g(x)在[a,a]a  0上连续，g(x)为偶函数，且有f (x) f (x)  A①求证：af (x)g(x)dx  Ag(x)dx； （换元）②求0a22sin x arctanexdx=2.105 5（B） 、设f (x)连续，求证：dyfx4 4（A） 、设f '(x)连续,且f (0)=0，证：1y10dxf '(x)f (y)dy=f2(x)dx．x21002x1dx 1011（换序与换元）fxdx．026 6（A） 、若f (x)  (1 x2)1 1 x27 7（A） 、设f (x)  x  x210f (x)dx，则f (x)dx (4).10f (x)dx x320f (x)dx，则f (x) x3x28 x3.8 8（A） 、设F '(x) = f (x)，且F(0)  0 ,F(x) f (x) sin2x，则9 9 （A） 、 设fx连续，1010 （A） 、f (x)连续，566| f (x)|dx 2.x0x16x18115ftdt t ftdt C， 则fx2x，C ．x899122x0tf (2xt)dt arctan x2， 若f (1) 1， 则f (x)dx 3 4（换）121111 （B） 、设f (x)在0,4上可导， 且恒有f (x)0f1(t)dt t0xcost sintdt，其中f1是sint costf的反函数，则f (x)  ln(sin xcosx).提示： 方程两端对x求导得f1[ f (x)]f (x)  xcosx sin xcosx sin x， 即f (x) .sin x  cosxsin x  cosx1212 （B） 、 求连续函数f (x)， 使它满足10（换，cosx xsin xC）f (tx)dt  f (x) xsin x .13（A） 、设f (x)在[a,b]上连续，且f (a)  f (b)，求证：方程f (x)  f (x(ba) 2)在(a,b)内至少有一根．(零点定理)14（B） 、设f (x)在[a,b]上连续，且a  c  d  b, p,q  0，求证：方程(p  q) f (x)  pf (c)  qf (d)在(a,d)内至少有一根．(在[c,d]上用零点 Th)15（B） 、设f (x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)  0，求证：(a,b)，使baf (x)g(x)dx  f ()g(x)dx．(介值定理)ab16（A） 、f (x)于[a,b]连续，(a,b)可导，求证：(a,b)，使[bf (b)af (a)] (ba)  f ()f ()． （拉格朗日拉格朗日中值定理）17（B） 、设函数设函数fx在在[0,)上可导，上可导，f0 0，且，且lim f (x)  2，证明，证明（（1 1）存在）存在a  0，使得，使得fa1;（局部保号性与介值定理）（（2 2）对（）对（1 1）中的）中的a，存在，存在(0,a)，使得，使得f '() 1 a．． （拉格朗日拉格朗日中值定理）18 （A） 、 设f (x)在a,b上连续， 在(a,b)上可微， 且f (a)  f (b)  0， 则存在一点a,b使2f ()  f ()  0． （令F(x) exf (x)，罗尔罗尔中值定理）19（A） 、设f (x)在1,2上连续，在(1,2)上可微，且f (1)1 2，f (2)  2，则存在一点21,2,使2 f () f ()  0． （令F(x)  f (x) x，罗尔罗尔中值定理）2x学习必备欢迎下载20（A） 、f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ba[ f (x) (ba)]dx  f (b)求证：在(a,b)至少存在一点，使f ()  0．(积分中值定理与罗尔罗尔中值定理)21（A） 、f (x)在[0,1]上可微，且f (1) 21 20xf (x)dx，xe1xf (x)dx，(k 1)，证明0,1，试证：(0,1)，使f () f ()  0．(令F(x)  xf (x)，积分中值定理与罗尔罗尔定理)22（A） 、设f (x)在0,1上可微，f (1) k1 k0使得f () 11f ()．(令F(x)  xe求证：(1,0)，使e[1xf (x)，积分中值定理与罗尔罗尔定理)x23（B） 、设y  f (x)为[1,0]上的任一连续函数，记f (x)在[1,0]上的平均值为A，1（令F(x)  exf (t)dt  Ax,用罗尔）f (t)dt  f ()] A．124（B） 、设f (x)在(a,b)上具有二阶导数，且f (a)  f (b)  0, f (a) f (b)  0证明：(a,b)，使f ()  0． （局部保号性与罗尔罗尔中值定理）25（B） 、设f (x)于[0,1]连续，(0,1)可导，且f (0)  f (1) 0，f (1 2) 1，求证： （i）(1 2,1)，使f () ； （零点定理）x（ii）对任意实数，(0,)，使f () [ f () ]1．(令F(x)  e[f (x) x])26 （A） 、 当x  0时， 求证：(e 1) (1 x)  ln(1 x).(令F(x)  e 1(1 x)ln(1 x))27（A） 、当x  0时，求证：arctanx1 x 2.(考虑x=0处的右极限)28（A） 、当x  0时，证明：(1 x)11 xxx e1x 2.(先取对数)2229 （B） 、 设0  a  b， 求证：2a (a b )  (lnblna) (ba) 1ab. （令x=b a>1）30（A） 、证明:当0  a  b 时,bsinb2cos bb  asina2cos aa.31 （A） 、 设f (x),g(x)正值可导，f (x)g(x)  f (x)g(x)  0， 则当a  x  b时， 有 （A）（A）f (x)g(b)  f (b)g(x)（B）f (x)g(a)  f (a)g(x)（C）f (x)g(x)  f (b)g(b)（D）f (x)g(x)  f (a)g(a)（提示：令F(x)  f (x) g(x)，单调性）单调性）.32（A） 、设设f f ( (x x) )二阶可导，二阶可导，g g( (x x) )   f f ( (0)( )(1  x x) )  f f ( (1) )x x，则在，则在[ [0, ,1] ]上上（D） （凹凸性）（（A A）当）当f f ' '( (x x) )   0时，时，f f ( (x x) )   g g( (x x) )（（B B）当）当f f ' '( (x x) )   0时，时，f f ( (x x) )   g g( (x x) )（（C C）当）当f f   ( (x x) )   0时，时，f f ( (x x) )   g g( (x x) )（（D D）当）当f f   ( (x x) )   0时，时，f f ( (x x) )   g g( (x x) )33（A） 、证明:当0  x 时,xsin x2cos x4x2  0.（凹凸性）34（A） 、设在[0,1]上，f (x)  0则f (0), f (1), f (1)  f (0)或f (0) f (1)的大小顺序是f (1)  f (1) f (0)  f (0).（拉格朗日（拉格朗日中值定理）[a1 na1 (n1)] lna  n2a1 n.（拉格朗日（拉格朗日）36（A） 、证明：x  0时，有x (1 x)  ln(1 x)  x.（拉格朗日（拉格朗日）35（A） 、a 1,n 1，求证：(n1) a221 (n1)37（A） 、当x  0时，试证：(x 1)ln x  (x 1).（分x<1与x 1考虑）nn138（A） 、求证：2 1 n 2(n 1,n为自然数).（先转化为函数最值）239（B） 、证明：xln[(1 x) (1 x)]cos x 1 x2, 1 x 1.（最值）24040（A） 、设Ikkeexsin xdx(k=1,2,3)，则有（Ａ）（Ａ）112（Ａ）（Ａ）I1