经典高等数学课件d104重积分的应用课件.ppt

1,柱面坐标系,球面坐标系,★重积分计算的基本方法,—— 累次积分法,2,第四节,一、平面图形的面积及立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,,,,,重积分的应用,第十章,3,例: 设由锥面,计算的体积.,解法1:,解法2:,4,1. 能用重积分解决的实际问题的特点:,所求量是,对区域具有可加性.,,分布在有界闭域上的整体量.,2. 用重积分解决问题的方法,-----元素法,问题:满足什么条件的量可用重积分解决？,5,元素法的步骤：,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,,元素法也可推广到三重积分上：,8,,,,a,b,,,,,,,x,y,9,3.设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,2.设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,曲面面积公式为：,即 1.设曲面的方程为：,10,解：,P175T1,例1. 求球面,，含在圆柱体,内部的那部分面积.,曲面方程：,由对称性知：,11,所求面积为：,12,例2.,求半径为a的球的表面积.,解：,取直角坐标系，,使上半球面,的方程为,则上半球面在xoy面上的,投影区域D可表示为,由,得,13,上不连续，,这是反常的二重积分，,所以先取区域,令,面积，,,14,利用极坐标，得,故,即为半球面的面积.,因此整个球面的面积为,15,三、物理应用,16,则得：,则薄片的质心坐标为：,,,,17,因闭区域D关于y轴对称,所以质心必在y轴上,于是,解:,,,,18,,,,19,古鲁金第二定理：,平面有界闭区域D绕该平面内不与它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积.,证明：用元素法.,如图,设D绕x轴旋转，,旋转体的体积为：,由于D的形心坐标为：,故,,,,20,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,21,得：,,,,22,例4.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.,解: 建立坐标系如图,,半圆薄片的质量,,D,,23,,,,24,,,,,,25,26,,G 为引力常数,推广到空间立体 ：,设物体占有空间区域 ,,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,得：,其密度函数,,,,,,,,,,,,27,小 结,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,28,四、物理应用,2.平面薄片D的质心坐标,练习：总习题十,作业:P175 3,7(1), 11.,预习:P185-P190,。