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乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 ACB 第 8 第DHPGFEDCBA教师： 学生： 时间: 2013年 月 日 段一、授课目的与考点分析：二、授课内容： 第一部分：三角形基础回顾：第一部分：三角形基础回顾： 1．三角形的分类三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为 ______、_______和_______，2．一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两 个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____4)三角形的主要线段的性质(见下表)：名称基本性质角平分线①三角形三条内角平分线相交于一点（内心） ；内心到三角形三边距离相等；②角 平分线上任一点到角的两边距离相等。

中线三角形的三条中线相交于一点高三角形的三条高相交于一点边的垂直平分 线三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） ；外心到三角形三个顶点的距离相 等3. 几种特殊三角形的特殊性质（1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相 等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三 线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于 ___°②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为 ___角； 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = a h（ h 是a边上的高 21）例 1： (基础题) 如图, AC//DF , GH是截线.∠CBF=40°, ∠BHF=80°. 求∠HBF, ∠BFP, ∠BED.∠BEF 例 2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度）乐学教育个性化授课案乐学教育个性化授课案 ggggggggggggangganggang 纲乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 CDBA第 14 第②：、 。

如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C，那么△ABC 的形状为（ ）A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是 ⑥小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______.⑦已知等腰三角形的一边长为 6，另一边长为 10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ，∠C = BD=______,CD=________⑨如图，AB = AC，BC ⊥ AD，若 BC = 6，则 BD = 。

⑩画一画 如图，在△ABC 中：（1）.画出∠C 的平分线 CD （2）.画出 BC 边上的中线 AE （3）.画出△ABC 的边 AC 上的高 BF例 3： (提高)①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B= ③在等腰三角形中，一个角是另一个角的 2 倍，求三个角？_______________________ ④：在等腰三角形中，，周长为 40cm,一个边另一个边 2 倍，求三个边？_________________ 例 4 如图，D 是△ABC 的∠C 的外角平分线与 BA 的延长线的交点，求证：∠BAC＞∠B例 5.ABC 为等边三角形，D 是 AC 中点，E 是 BC 延长线上一点，且 CE = BC21求证： BD = DE第二部分勾股定理：第二部分勾股定理： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么abc222abc 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三， 股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方BAＣ卅卅譃譃ｂｂａ乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：，，化简可证．4EFGHSSS正方形正方形ABCD2214()2abbaccbaHGFEDCBA方法二：bacbaccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三：，，化简得证1() ()2Sabab梯形2112S222ADEABESSabc梯形乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 abccbaEDCBA３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝 角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，ABC90C22cab22bca22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边abc222abcc①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它22ab2c 们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形abc222abcabc 是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；222abcabc ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满abc222abcabc 足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边222acbabcb③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，222abcabc 称，，为一组勾股数abc②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等3,4,56,8,105,12,137,24,25③用含字母的代数式表示组勾股数：n（为正整数） ；221,2 ,1nn n2,n n（为正整数）2221,22 ,221nnnnnn（，为正整数）2222,2,mnmn mn,mnmn７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使 用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用 勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求 解．乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体 推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边 的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆 定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30° DCBAADBCCBDA题型一：直接考查勾股定理 例１.在中，．ABC90C⑴已知，．求的长6AC 8BC AB ⑵已知，，求的长17AB 15AC BC分析：直接应用勾股定理222abc解：⑴2210ABACBC⑵228BCABAC题型二：应用勾股定理建立方程 例２. ⑴在中，，，，于，＝ ABC90ACB5AB cm3BC cmCDABDCD ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为 3:415 ⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为 30cm13cm 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据 勾股定理列方程求解 解：⑴，224ACABBC2.4AC BCCDAB乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 DBAC⑵设两直角边的长分别为，，，3k4k222(3 )(4 )15kk3k54S ⑶设两直角边分别为，，则，，可得ab17ab22289ab60ab 1302Sab2cm例３.如图中，，，，，求的长ABC90C12  1.5CD 2.5BD AC21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作于，DEABE ，Q12  90C1.5DECD在中BDE2290 ,2BEDBEBDDEQRt ACDRt AEDQ ACAE在中，Rt ABC90C，222ABACBC222()4AEEBAC3AC例 4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积Rt ABC90C3,4ACBCBAC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理 例 5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一8cm2 cm8cm 棵数的树梢，至少飞了 m乐学教育-----您值得信赖的专业化个性化学校 ABCDE分析：根据题意建立数学模型，如图，，，过点作，垂足为，8AB m2CD m8BC mDDEABE 则，6AE m8DE m在中，由勾股定理得Rt ADE2210ADAEDE答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为，，，判定是否为abcABCRt①，， ②，，1.5a 2b 2.5c 5 4a 1b 2 3c 解：①，22221.526.25abQ222.56.25c 是直角三角形且ABC90C②，，不是直角三角形2213 9bcQ225 16a 222bcaABC例。