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常微分方程考研讲义第四章高阶微分方程第四章 高阶微分方程［教学目标］1 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法2. 掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法,理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法. 3. 熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法.4. 掌握高阶方程的应用［教学重难点］ 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法难点是待定系数法求特解 ［教学方法］ 讲授，实践［教学时间］ 16学时［教学内容] 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构,非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用 [考核目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论,能够求解高阶常系数线性微分方程.2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用. §4.1线性微分方程的一般理论4。

1.1引言 讨论阶线性微分方程 （4.1）其中及都是区间上的连续函数如果，则方程(41）变为: (4.2）称它为阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（42）叫对应于方程（41)的齐线性方程定理1 如果及都是区间上的连续函数,则对于任一 ,方程（4.1）存在唯一解，定义于区间上，且满足初始条件： （4.3）从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1)的解，而且这个解在所有及连续的整个区间上有定义1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 （4.2)定理2（叠加原理）如果是方程(42）的个解，则它们的线性组合也是(42）的解，这里是任意常数特别地,当时，即方程（4.2）有解 （4。

4)它含有个任意常数在什么条件下，表达式（4.4）能够成为阶齐线性方程（42）的通解？为了讨论的需要,引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念.设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式 对于所有都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当时，上述恒等式才成立， 称这些函数在所给区间上线性无关 由此定义不难推出如下的两个结论：1）在函数组中如果有一个函数为零，则在上线性相关2）如果两个函数之比在有定义，则它们在上线性无关等价于比式在上不恒等于常数例1函数组在任意区间上都是线性无关的.解 比式=不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组在区间上线性相关解 若取则故已知函数组在上线性相关.设函数在区间上均有阶导数,行列式 称为这些函数的伏朗斯基行列式定理3 若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数，使得 (46）依次对微分此恒等式，得到 (4。

7）把（4.6）和（4.7）看成关于的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是，由线性代数的理论知道,要此方程组存在非零解,则它的系数行列式必须为零，即 反之，其逆定理一般不成立例如函数 和 在区间上,，但在此区间上却是线性无关的因为，假设存在恒等式 (4.8）则当时，可知；当时，可知即当且仅当时,(48)式对一切成立故是线性无关的推论1 如果函数组的朗斯基行列式在区间上某一点处不等于零，即,则该函数组在上线性无关.但是，如果是齐线性方程(42)的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即 证明：采用反证法设有某个,，使得.考虑关于的齐次线性代数方程组 （49）其系数行列式，故(4.9)有非零解现以这组常数构造函数 根据叠加原理，是方程（42）的解注意到（49），知道这个解满足初始条件 （4。

10）但是显然也是方程（4.2）的满足初始条件（410）的解由解的唯一性,即知 ，即 因为不全为0，这就与线性无关的假设矛盾，定理得证.推论2 设是方程（42）定义在上的个解,如果存在，使得它的朗斯基行列式， 则该解组在上线性相关.推论3 方程（4.2）的个解在其定义区间上线性无关的充要条件是，存在,使得它的朗斯基行列式定理5 阶齐线性方程(4.2）一定存在个线性无关的解.定理6（通解结构定理） 如果是方程（42）的个线性无关的解，则方程（4.2)的通解可表为 （411)其中，是任意常数，且通解（4.11）包括了方程(4.2)的所有解证明：由叠加原理知道（4.11)是(4.2）的解,它包含有个任意常数.这些常数是彼此独立的事实上， 因此，（411)为方程（4.2)的通解；现在,我们证明它包括不方程的所有解由定理1，方程的解唯一地决定于初始条件，因此,只需证明：任给一初始条件 （4.12）能够确定（4.11）中的常数的值，使（4。

11)满足（4.12)现令（4.11）满足条件（412）,得到如下关于的线性代数方程组: (413)它的系数行列式就是，由定理4知根据线性代数方程组的理论，方程（413）有唯一解因此，只要表达式（411）中常数取为，则它就满足条件（412），理得证推论 方程(4.2）的线性无关解的最大个数等于.因此可得结论:阶齐线性方程的所有解构成一个维线性空间. 方程（42)的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组3 非齐线性方程与常数变易法性质1 如果是方程（4.1）的解，而是方程(4.2）的解，则也是方程（41）的解.性质2 方程(41)的任意两个解之差必为方程（42）的解定理7 设为方程（42）的基本解组,而是方程（41)的某一解，则方程（4.1)的通解可表为 （4.14）其中为任意常数而且这个通解（414）包括了方程(41）的所有解证明：根据性质1易知（4.14）是方程(41）的解,它包含有个任意常数，像定理6的证明过程一样，不难证明这些常数是彼此独立的，因此，它是方程(4.1)的通解。

现设是方程（41）的任一解，则由性质2，是方程（4.2)的解，根据定理6,必有一组确定的常数，使得即 这就是说，方程(4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中为相应的确定常数由于的任意性，这就证明了通解式（414）包括方程（41）的所有解﹟设是方程（4.2）的基本解组，因而 （4.15）为（42）的通解把其中的任意常数看作的待定函数，这时（415）变为 （4.16）将它代入方程（41），就得到必须满足的一个方程，但待定函数有个,即，为了确定它们，必须再找出个限制条件，在理论上,这些另加的条件可以任意给出，其法无穷，当然以运算上简便为宜,为此，我们将按下面的方法来给出这个条件对微分等式（416)得 令 得到 对微分，并像上面一样做法，令含有函数的部分等于零，我们又得到一个条件 和表达式 继续上面做法,在最后一次我们得到第个条件 和表达式 最后，对微分得到 现将（4。

16）,,,…，代入（41)，并注意到是（4.2）的解，得到 这样，我们得到了含个未知函数的个方程，，…，题目组成一个线性代数方程组，其系数行列式就是，它不等于零，因而方程组的解可唯一确定,设求得 积分得 这里γi是任意常数将所得的表达式代入（4.16）即得方程（41）的解显然，它并且是方程（4.1)的通解为了得到方程的一个解，只需给常数以确定的值例如,当取时，即得解 从这里可以看出，如果以知对应的齐线性方程的基本解组,那么非齐线性方程的任一解可由求积得到因此，对于线性方程来说，关键是求出齐线性方程的基本解组.例3 求方程的通解,以知它的对应齐线性方程的基本解组为，解：应用常数变易法，令将它代入方程,则可得决定和的两个方程：解得 由此 于是原方程的通解为其中，为任意常数例4 求方程于域上的所有解解：对应的齐线性方程为容易直接积分求得它的基本解组事实上,将方程改写为积分即得所以，这里，为任意常数易见有基本解组1，为应用上面的结论，我们将方程改写为并以代入,可得决定和的两个方程及于是 故得原方程的通解为这里，为任意常数.根据定理7，它包括了方程的所有解。

§4.2 常系数线性方程的解法讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在42.1中预先给以介绍4.2.1 复值函数与复值解如果对于区间中的每一实数,有复数与它对应，其中和是区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数如果实函数,当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并且定义如果，我们就称在连续.显然,在连续相当于、在连续当在区间上每一点都连续时，就称在区间上连续如果极限存在,就称在有导数（可微）且记此极限为或者.显。