高考数学回归课本初等函数的性质教案旧人教版.doc

高考数学回归课本教案第四章 几个初等函数的性质一、根底知识1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为〔0，+∞〕，当01时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点〔0，1〕2．分数指数幂：3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为〔0，+∞〕，值域为R，图象过定点〔1，0〕当01时，y=logax为增函数4．对数的性质〔M>0, N>0〕；1〕ax=Mx=logaM(a>0, a1)；2〕loga(MN)= loga M+ loga N；3〕loga〔〕= loga M- loga N；4〕loga Mn=n loga M；，5〕loga =loga M；6〕aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).5. 函数y=x+〔a>0〕的单调递增区间是和，单调递减区间为和〔请读者自己用定义证明〕6．连续函数的性质：假设a

二、方法与例题1．构造函数解题例1 a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，那么f(x)是关于x的一次函数所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0〔因为-10，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.例2 〔柯西不等式〕假设a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，那么〔〕〔〕≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, …, n时成立证明】 令f(x)= 〔〕x2-2()x+=,因为>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，所以△=4()-4〔〕()≤0.展开得〔〕()≥()2等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值解】u==xy+≥xy++2=xy++2.令xy=t，那么0

所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为++2.2．指数和对数的运算技巧例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，那么p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+记x=，那么1+x=x2，解得又>0，所以=例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，假设ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.假设a=1，那么因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3．指数与对数方程的解法解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1设f(x)= , 那么f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组：〔其中x, y∈R+〕.【解】 两边取对数，那么原方程组可化为 ①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y>0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .例9 a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③假设①、②同时成立，那么③必成立，故只需解. 由①可得2kx=a(1+k2)， ④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k.假设k<0，那么k2>1，所以k<-1；假设k>0，那么k2<1，所以0

三、根底训练题1．命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y〞是命题q:“x+y≥0”的_________条件2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，那么x1+x2=_________.3．f(x)是定义在R上的增函数，点A〔-1，1〕，B〔1，3〕在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，那么不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________4．假设log2a<0，那么a 取值范围是_________5．命题p: 函数y=log2在[2，+∞〕上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，那么p是q的_________条件6．假设00且a1，比拟大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).7．f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，那么函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________8．假设x=，那么与x最接近的整数是_________9．函数的单调递增区间是_________10．函数f(x)=的值域为_________。

11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n xa]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.假设f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.2．不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，那么m的取值范围是_________.3．假设x∈{x|log2x=2-x}，那么x2, x, 1从大到小排列是_________.4. 假设f(x)=ln，那么使f(a)+f(b)=_________.5. 命题p: 函数y=log2在[2，+∞〕上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，那么p是q的_________条件.6．假设00且a1，比拟大小：|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|.7．f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，那么函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.8．假设x=，那么与x最接近的整数是_________.9．函数y=的单调递增区间是_________.10．函数f(x)=的值域为_________.11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n xa]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。

假设f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.2．不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，那么m的取值范围是 ________.3．假设x∈{x|log2x=2-x}，那么x2, x, 1从大到小排列是________.4．假设f(x)=ln，那么使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________.5．an=logn(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，那么pq的值为_________.6．x>10, y>10, xy=1000，那么(lgx)(lgy)的取值范围是________.7．假设方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，那么实数k的取值范围是________.8．函数f(x)=的定义域为R，假设关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，那么b, c应满足的充要条件是________.〔1〕b<0且c>0；〔2〕b>0且c<0；〔3〕b<0且c=0；〔4〕b≥0且c=09．f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，那么F(x)是________函数〔填奇偶性〕.10．f(x)=lg，假设=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，那么f(a)+f(b)=________.11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。

12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足00且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，〔1〕求f(x)的反函数f-1(x)；〔2〕假设f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范围五、联赛一试水平训练题1．如果log2[log(log2x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排列为___________.2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有log1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，那么k的最大值为___________.3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，那么的值为___________.4．0