2平面向量小结和复习.docx

第二章 平面向量章末复习教学目标重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用.难点：用向量法解决平面儿何问题时，如何建立平面儿何与平面向量Z间的联系.能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运 算能力和解决实际问题的能力.教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：(1)忽视两向暈垂直的概念是针对两非零向暈的而致错；(2) 对两向量夹角的定义理解不清致错；(3) 把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；(4) 混淆点的坐标与向量的坐标致错.学法与教具1. 学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】1. 平面向量的数量积(1) 数量积的定义己知两个非零向量d与〃，我们把数量\a\\b\cos0叫做Q与“的数量积(inner product)(或内积)，记作 a b ,即=问同cos&,其中&是a与“的夹角.(2) 数量积的儿何意义数量积a 〃等于a的长度问与〃在a方向上的投影同cos&的乘积，或等于〃的长度同与a在〃方向 上的投影|a| cos 6的乘积.(3) 数量积的性质① a 丄boa b = 0 .② 当a与b同向时，a方=问同；当a与方反向时，a = -|a||/>|；特别地，a a = cT ,所以 a = Ja a .通常a a记作a2.③\ab\<\a\\b\(4)数量积的运算律已知向量a、b c和实数2,贝ij：②(加)怖a (Ab):③(a + />)c 二 ac +方 c.(5) 数量积的坐标表示已知两个非零向量a = (x1,>,1), b = (x2,y2),则 a b = x{x2 + yxy2.由此可得:①怵* + )]2或问二問+)「；② a 丄〃 u> xtx2 + )[% = 0 ；③设&为a、b的夹角，则cos0 =ab 召■竺+少22. 平面几何中的向量方法用向量法解决平面儿何问题的“三步曲”：(1) 建立平而几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2) 通过向量运算，研究儿何元素Z间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成儿何关系.在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路： 第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系.3. 向量法在物理中的应用向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的 功.因此，用向量可以解决一些物理问题.向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题， 然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象.用向量法解决物理问题吋，应作出 相应的图形，以帮助我们建立数学模型.三、【范例导航】例 1 (2012・天津)在厶ABC |1, ZA=90, AB=1 , AC=2・设点 P, Q 满足 AP = AAB ,AQ = (l — a)ACMwR^BQCP = —2,则2= .2 2 【分析】由题意可知ABAC = O,根据BQ CP = (A-1)AC -AAB =-2,解方程可以求得久的值.【解答】如图，设AB = b , AC = c,则b =1, c =2, h c = 0,QP又 BQ=BA+AQ = -b^(l-A)c, CP = CA^ AP = -c + Ab,由 BQCP = -2 得,L-/? + (l-A)cJ(-c + 2Z?) = (A-l)-Ab=4(2 — 1) — A = —2 ,2即32 = 2,所以2 = -.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.—> —> 2 "■► > —> ―► —> —►变式训练1（2011 •江苏卷10）已知勺心 是夹角为g兀的两个单位向量，a = ex-2e2,b = kex^e2.若a b = 0,则k的值为 答案：—4解析:Ta—>2 _> _> ->2中(1一2比)弓 e2-2e2 = + (1 — 2)cos^ = 0,3所以AE例2（2012 •江苏9）如图，在矩形ABCD中，AB =辺,BC = 2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若仙 AF = y/2，则AE 的值是 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要 用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0, 得到结果.【解答】因为AF = AD^DF.二 AB pVD + E>产卜 啊/!> + AB DF = AB DF = \/2 |DF = \fl ,所以 DF =1 , CF =x/2-\.AB CF + BE ^C=x/2(V2-1) + lx2 = >/2.【点评】本题主要考查平血向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和 的形式.变式训练2（2012 •湖南文15）如图4,在平行四边形ABCD中，API BD,垂足为 P, AP = 3且 APAC 二 .答案：18解析：设 AC BD = O,则 AC = 2（AB+BO）,所以，八PW ^AP 2］祁齐切=2^PW/? + 2z47j BO = 2AP AB = 2AP （AP + PB）= 2AP2 = 18 例3.证明：对于任意的e、$、*、b严R，恒有不等式（0厶+02乞『5（彳+&）（斤+斤）.【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产牛联系，故需要构造向量.【解答】设a = (al,a2)9 b = (b则 a b = + a2b2, a _ = a； + a； , ”「= bj + b；所以(qb| + a2b2 )2 < (a； + a；)(叶 + 员).【点评】此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论•这一 技巧应要求学生注意体会.变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单 位长度为半径的圆上有两点A(cosa,sina), 3(cos0,sin0),试用A、B两点的坐标表示ZAOB的余眩值. 答案:cos ZAOB - cos a cos 0 + sin a sin 0 解析：因为 A(cos a. sin a), B(cos 0, sin 0),所以 OA = (cos a. sin a), OB = (cos [i. sin 0)那么,cos ZAOB =0A 0B = cos a cos 0 + sin a sin (3OA OB四、【解法小结】1 •准确把握平面向量数量积的重要性质：设a =(西，必)，方=(吃，丁2)(l)a丄b^ab = o^x[x2^-y[y2=of既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算;⑵a a = a2 =\af与问== 后+异可用來求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化.⑶2品二靑冷不仅可以用来直接计算讪…的夹角,也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，述可利用夹角的取值情况建立方程或不等式 用于求参数的值或范围.2. 向量解决儿何问题就是把点、线、平面等儿何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的 运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到 向量T向量的运算T数到形” •3. 明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识:(1) 力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的柱加亦用到向量的合成;(2) 动量加卩是数乘向量；(3) 功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】必做题:1. (2012-辽宁卷)已知两个非零向量a,方满足|a+洌=|a—洌，则下面结论正确的是( )A. a〃b B. albC. |a|=0| D. a+b=a~b2. (2012-上海卷)在平行四边形ABCD中，ZA=^f边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足國^啤，则加•涵的取值范围是 .IBC1 \CD\3. (2012-北京卷)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则徒•动的值为 .徒伉的最大值为 4. 在边长为1的正三角形ABC中，则A/产眄必做题答案：1. 因为\a+b\ = \a—b\<^(a+b)2=(a—b)2<^a b=0^ 所以 a丄方，答案选 B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向 量的平方.2. 令 B^=nBt(0