中值定理解题与求极限方法.doc

例 1设在上连续，在内可微，且证明至少有一点)(),(xgxf  ba,),(ba0)(   xg使得：   ba,  )()( )()()()(       gf gbgaff      [分析]：要证的等式即为：，即)]()()[()()]()([    gbgfgaff     0] )()()()()()([      xbgxfxgafxgxf记 ，则这个可用作证明此题)()()()()()()(bgxfxgafxgxfxF   )(xF的辅助函数[证明]：作辅助函数，则)()()()()()()(bgxfxgafxgxfxF   在上连续、在内可微，)(),(xgxfQ],[ba),(ba在上连续、在内可微，)(xF],[ba),(ba且)()()()(bgafbFaF   由 Rolle 定理，至少有一点，使，即  ba,  0)(   F0] )()()()()()([      xbgxfxgafxgxf0)()()()()()()()(        bgfgafgfgf      ，当然有；0)(   xgQ0)(   g)()( )()()()(       gf gbgaff      例 2设在上可微，证明至少存在一点使得)(xf],[ba)0(ba     ba,  abfafbfln)()()(      [分析]：要证的等式即为             xxffabafbf ][ln)()(lnln)()(只须对用 Cauchy 中值定理即可。

[证明]：在上可微，且，xxfln),(Q],[ba01)(ln   xx由 Cauchy 中值定理，至少有点，使得),(ba  ，即 )(1)( lnln)()(    ff abafbf        abfafbfln)()()(      以上两例的分析过程中，我们运用了“倒推法”将辅助函数构造了出来虽然这 种“构造”的方法仍然是在“凑” ，但已不再是随机的和无把握的了因为采用了“倒 推法” ，而“倒推”的目的是要寻找“原函数” 既然如此，我们是否可以不去凑，而 改用不定积分的方法直接“求”出这个“原函数”呢？ 如在例 2 中，我们可以将要证的等式变形为  1ln)()()(    abafbff)0(   a 两边对积分，得： （为任意常数） Cabafbff     ln ln)()()(C即，可取Cabafbff     ln ln)()()(xabafbfxfxFln ln)()()()(   容易验证：。

ababfbafbFaF lnln)(ln)()()(   可见，这样求出的满足 Rolle 定理于是，对应用 Rolle 定理即可)(xF)(xF例 3设于上可微，且，证明：至少存在一点，使)(xf],[21xx021 xx),(21xx  得)()()()(1212121   ffxfxfxxxx     [分析]：将要证的等式两边同乘以，得：21  22 212121)()(1 )()(1       ff xfxfxxxx      两边对积分，得： Cf xfxfxxxx          )(1 )()(1212121即 Cxfxfxxxxf       1 )()(1)(212121可取 xxfxfxxxxxxfxF1 )()(1)()(212121    可以验证：2121 21)()()()(xxxfxfxFxF    于是，可由 Rolle 定理证之 [注]：此题也可用 Cauchy 定理证明。

简述如下：211221212121)()( )()(1 xxxfxxfx xfxfxxxx    )()(1)()(11)()(22),(21112221         ffffxxxxf xxfxxCauchy                     定定理理由由例 4用 Rolle 定理证明 Cauchy 定理[分析]：要证，即)()( )()()()(    gf agbgafbf      0)()]()([)()]()([        fagbggafbf两边对积分，得： Cfagbggafbf    )()]()([)()]()([  可取 )()]()([)()]()([)(xfagbgxgafbfxF    可以验证：即满足 Rolle 定理条件)()()()()()(afbgagbfaFbF   例 5设在上可微，，且当时，。

证明：至少有)(xf]1 , 0[0)0( f)1 , 0( x0)( xf一点，使得： )1 , 0(  )1()1( )()(2             ff ff[分析]：在上面等式中对积分，得： Cffln)1(ln)(ln2      即 Cff   )1()(2  可取，这里可用 Rolle 定理)1()()(2xfxfxF   0)1()0(   FF例 6设可微，则的任意两个零点之间必有的零点)(xf)(xf)()(xfxf  [分析]：假设是的两相邻零点ba,)(xf)(ba  要证： ，0)()(     ff),(ba  即 积分，得：1)()(       ff，即，亦即Cfln)(ln          Cef)(Cef   )(于是，可取，这里可用 Rolle 定理xexfxF)()( 0)()(  bFaF例 7设在上可导，，当时，。

证明：)(xf],[ba0)()(  bfaf),(bax 0)( xf对任何实数都有，使[或]k),(ba  kff   )()(   )()(  kff  [分析]：在两边对积分，整理得：，即kff   )()(      kCef )(Cefk    )(可取 ，这里可用 Rolle 定理kxexfxF  )()(0)()(  bFaF例 8设在上可导，，为任意可微函数则至少有一点)(xf],[ba0)()(  bfaf)(xg，使),(ba  0)()()(       gff[分析]：与例 6 和例 7 类似，可求得：，这里)()()(xgexfxF 0)()(  bFaF例 9设在上可微，且，证明至少存在一点，)(xf), 0[   21)(0xxxf   0  使   22211)(         f[分析]：在两边对积分，得  22211)(         f     )(tan tan1tan111)(222tan222 td ttdft                     令令       Cttdtdttt2sin212cos)sin(cos22CCtt     21cossin  可取 21)()(xxxfxF   由知：。

21)(0xxxf   0)(lim)0(     xFF x由推广的 Rolle 定理即可证明[附]：推广的 Rolle 定理：设在上连续，在内可导，且)(xf), 0[   ), 0(   ，则必有，得)(lim)0(xff x   ), 0(     0)(   f一、一、施托兹施托兹(Stolz)定理定理定理 1：若，，且存在，则存在，且有    ny nynnnnnyyxx      11limnnnyx limnnnnnnnnyyxx yx        11limlim[证明]：设，则Ayyxxnnnnn      11lim      NnN:, 0, 0        Ayyxxnnnn11即，即          AyyxxAnnnn11，于是，有：        nnnnnnyyAxxyyA          111          NNNNNNyyAxxyyA          111          121212             NNNNNNyyAxxyyA          232323             NNNNNNyyAxxyyA  ……………………………………         111          nnnnnnyyAxxyyA  将以上诸式相加，得：        NnNnNnyyAxxyyA         即， 亦即         AyyxxANnNn     AyyxxNnNn而AyyxxNnNnn     limNnNnnyyxx    limNnNnNnnnyyx yyx        limlimnNnNnnN nnn yyyxyyyx                  1lim 1limnnnyx   lim[证毕]nnnnnNnNnnnnnyyxxAyy。