数学-范德波尔方程及其应用.docx

摘 要 范德波尔模型方程在社会科学，工程科学，经济科学等领域中被广泛加以应用，范德波尔模型在对于这些问题都有很大的变式，往往对于很多实际问题都能够得到很好的解决本文在非线性动力学、分岔理论以及范德波尔模型在Simulink仿真上以及事态变化的控制理论的研究，主要集中在范德波尔模型的几个常见的变式，并且范德波尔模型基于对非线性科学方法的基础上，总结了出了几类 Van der Pol-Duffing 系统的动力学特性进行了研究和探索，改进了一些旧理论和方法，发现了一些新的规律关键词：范德波尔模型方程；非线性动力学模拟；Simulink仿真目录摘要 1引言 11非线性动力学模拟模型 22范德波尔方程的研究背景 21.1 VanderPol-Duffing系统的研究现状与进展 31.2Hopf分岔理论的研究现状与进展 33范德波尔方程的运用 43.1范德玻尔方程的Simulink仿真 43.2范德波尔的事态变化控制研究 5结束语 6参考文献 7引言在最简单的数学模型方法中，动力学系统被认为是描述与时间相关的多维现象在动力学系统中，时间并不只是一个变量或是对事件的排序，动力学中的事件是与时间有关的，未来是与过去相关的，现行的活动受到过去事件的影响。

定义动力学系统中的非线性因素是一个非常困难的任务本文中研究的范德波尔模型往往是解决非线性系统的重要方法，很多线性系统并不足以构建现实生活中的各种模型，如果所需要构建的模型只与一个单独的变量有关，那么线性方程有可能将它表述出来线性衰减方程可以展现事态发展的一个变量与其他变量相关，但是当展现的现象是一个复杂的过程，线性方程的变化就成了一个循环，所以说，线性方程尽管在构建系统中单个变量时很有用，但它不能模拟一个系统，同时，它也不能很好地表现出变量之间的关系同样，性系统中，局部稳定意味着全局稳定，即如果小的波动不会影响系统，那么大的变化也不会影响1非线性动力学模拟模型线性系统的这个性质为分析带来了极大的方便，但是也极大地限制了行为和系统的类型在大多现实情况下，局部稳定并不意味着全局稳定在E-R模型中，不存在如线性系统中的全局稳定总之，事态发展是随时间变化的多维现象，并不能线性化描述用非线性动态系统方法对事态发展结构进行表述，事态发展是包括时间变化和不能被线性模拟的复杂现象，而非线性动态系统分析具有描述和模拟复杂现象的能力相对于线性系统，非线性系统一个重要的质的变化是它产生稳定极限环的能力我们往往会采用范德波尔(VanderPol)方程来构建事态发展结构的描述。

yt-γk-yt2yt+yt=0 (1)范德波尔方程是一个简单又典型的非线性系统，是由于系统受到非线性阻尼作用引起的在式(1)中，认为yt表示一种事态发展的变化过程，当式(1)表示某人快乐事态发展的变化过程时，变量yt表示快乐的幅度随时间推移的变化ytt和 yt分别是yt的一次和二次微分，这个方程表明了系统的加速度、状态的变化率和系统状态之间的关系方程会产生一个稳定的极限环，其中速度和加速度的振荡为一组无休止重复的值该极限环是稳定的，如果路径偏离了极限环，也会很快的返回限制的路径以上分析是基于未受外界扰动的范德波尔方程，从某种意义上说，具有混沌性质的非线性方程更能表现人类事态发展的变化混沌系统是确定性和不确定性的统一，它是发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定、不可重复、不可预测它相似于人类事态发展的变化，随着周围环境的不断变化事态发展也产生了短暂的随机变化，经过分析后，又可以从中理出某种规则，渐渐维持在一个相对稳定的状态2范德波尔方程的研究背景 非线性动力系统具有十分丰富的动力学特性，其中对于分岔问题的研究可以追溯到18世纪学者们对于力学失稳现象的研究，分岔是指系统的动力特性随着某些参数的变化而发生质的改变的现象。

它是一种常见并且非常重要的非线性现象，不仅仅在数学领域，而且在生物、化学、物理及其工程等领域都受到非常高的重视随着对分岔的研究，人们发现有些分岔现象是有害的为了避开有害的分岔行为，或者为了使系统产生人们所需的分岔行为，就需要设计适当的控制器来改变系统的分岔特性，这就是分岔控制近十几年以来，学者们对分岔控制的研究相当的活跃，分岔控制已然是非线性动力学领域的一个研究热点1.1 VanderPol-Duffing系统的研究现状与进展 由于非线性振动系统在科学技术及工程实践中的广泛存在，长期以来倍受科研和工程技术人员的重视VanderPol-Duffing系统的非线性部分同时含有Duffing系统三次非线性恢复力项和VanderPol系统维持自激振动的非线性阻尼项，方程(1.1)为一个典型的VanderPol-Duffing系统x-μ1-x2x-αx+βx3=fcos*ωt (1.1)几十年以来，对VanderPol-Duffing系统的动力学行为，学者们进行了系统全面的研究如：徐鉴等研究了一类具有三次项的VanderPol-Duffing非线性时滞系统的稳定性和Hopf分岔行为；彭解华等研究了一类VanderPol-Duffing系统在非共振情况下的平衡点性质和Hopf分岔，并且讨论了零解和极限环的稳定性；石艳香等对一类具有五次非线性恢复力项和2个周期激励外力的Duffing-vanderPol方程进行了研究，分析了该系统在2个周期激励作用下的非线性行为和复杂的运动状态；林延新等研究了Dulling-VanderPol振子在参数激励下的一系列动力学行为；顾仁财等研究了Levy稳定噪声激励下的双稳Dulling-VanderPol振子利用MonteCarlo方法得到了振幅的稳态概率密度函数；刘延彬等采用了级数展开形式的Melnikov函数方法解决高余维分岔问题；李飞等研究了一类VanderPol-Duffing振子的混沌动力学行为，并且应用直接微扰法构造了系统的通解，由该通解获得了预测混沌出现的Me1nikov判据；王绍明等研究了一类改进型VanderPol-Duffing混沌振子的同步问题；张莉研究了一类VanderPol-Duffing系统混沌控制与同步问题；许磊等用平均法研究了一类VanderPol-Duffing方程的幅频响应特性，并通过奇异性理论分析其静态分叉现象；李群宏等利用数值方法研究了一类非线性耦合VanderPol-Duffing振子在强共振下的复杂动力学行为；惠小健等针对一类非线性VanderPol-Duffing耦合振子机电系统，研究了该系统的基本动力学行为，运用非线性系统理论和Routh-Hurwitz定理分别对系统平衡点的稳定性作了研究。

1.2Hopf分岔理论的研究现状与进展早在18世纪，学者们对流体力学、天体力学以及非线性振动中失稳现象的研究中就发现了分岔现象分岔是一类普遍存在的非线性现象，它具有非常深刻的实际工程背景Jacobi早在1834年就提出了分岔这个术语，随后大量的分岔现象被Reynolds、Poincaré等学者在他们的研究中所发现Hopf分岔是一类相对简单但是却很重要的动态分岔问题随着对分岔现象的研究，Hopf分岔理论也取得了很大研究成果对机翼颤振时所出现的Hopf分岔现象进行了详细的研究；KumarS详细研究了捕食-被捕食系统中的Hopf分岔现象；文献[15]计算了一个混沌系统的第一Lyapunov系数，对其Hopf分岔情况及其方向做了详细的讨论；文献[16]研究了一个类Lorenz系统平衡点的稳定性及其Hopf分岔情况；文献[17]研究了一个新类Lorenz系统衡点的稳定性及其Hopf分岔情况，证明了该系统在适当的参数条件下会发生余维二退化Hopf分岔；文献[18]研究了一个新提出的类Lorenz系统的基本动力学行为、平衡点的稳定性及其Hopf分岔情况目前已经有很多关于Hopf分岔的文献和专著[19-27]Abed和Fu在1986年就对Hopf分岔的控制问题做了详细的研究。

经过了几十年的发展，对在Hopf分岔控制的研究已经取得了相当好的成果Wang等对一个三维热对流混沌模型的Hopf分岔进行了控制；Chen等利用Washout滤波器反馈控制法，进行了Hopf分岔控制，在所需要的参数位置创建了Hopf分岔；Wen等对一个七维连续非线性系统的Hopf分岔进行了控制，并且取得了很好的控制效果；安袆春等对非线性系统设计了基于Washoutfilter方法的Hopf分岔状态反馈控制器，在没有改变平衡点的情况下，使得系统在期望的参数值处，把原来的亚临界Hopf分岔控制为超临界Hopf分岔；马幼捷等介绍了非线性系统中目前常用的两种分岔控制方法并且用Washout-filter方法对电力系统的动分岔进行了控制；Angulo等利用非光滑分岔理论设计了适当的转换控制器，研究了光滑平面系统极限环的产生、幅值及其稳定性的控制；钱长照等对VanderPol-Duffing系统振子采用摄动法和多尺度法研究了极限环幅值控制；唐驾时等采用摄动法和多尺度法对一类对耦合的VanderPol振子极限环幅值进行了控制3范德波尔方程的运用 3.1范德玻尔方程的Simulink仿真 　Simulink是用来对动态系统实现建模、进行仿真和分析的一个软件包。

它是MATLAB的一个重要的组成部分利用Simulink可以建立更趋于真实的非线性模型，如考虑空气阻力和摩擦中的各个干扰因素等另外，Simulink系统建造的自定义用户模块对设计系统及分析结论的正确性都具有非常重要的意义因此，Simulink软件的功能已经成为专业技术人员必须掌握的一项技能在系统所受的非线性阻尼作用所引起的非线性中范德玻尔(Van der Pol）方程是最简单而最典型的非线性方程其数学方程式为x-ax02-x2x-αx+ω02x3=0 在范德玻尔方程中，增加外力Vcosωt项，其变成强迫范德玻尔方程，其数学方程式为x-ax02-x2x-αx+ω02x3+Vcosωt=0自激系统是一种在非线性阻尼作用下振动的系统，对范德玻尔方程而言，从机械振动的角度来看，-ax02-x2是可变的阻尼系数其中当｜x｜＞｜x0｜时阻尼系数为正数，则系统会受阻尼作用，能量将逐渐减少；但当｜x｜＜｜x0｜时阻尼系数为负数，这样系统的能量不仅不降低反而增加结果系统在自动反馈调节系统的作用下做稳定的周期振荡，系统在一个振荡过程中消耗的能量正好等于补充的能量强迫范德波尔方程在不同的参数条件下显示不同的吸引子，即1周期吸引子、2周期吸引子、不变环吸引子和奇怪吸引子。

本文采用Simulink仿真通过时间历程图和相图显示系统取不同参数下的振荡行为和相应的吸引子形状我们可以取x02=1，ω02=1和V=1，强迫范德玻尔方程可变为¨ｘx-a1-x2x+x+coswt=0 （３）给出初始值x=4和x=4，对此方程进行建模建完模型后用鼠标双击模型中任意模块，可以打开此模块参数对话框并进行设置，以下为其各模块的参数设置相加点(Sum）模块：此模块的对话框中符号“list of signs”设置为“－，＋，－”，“Icon shape”选为rectangular增益Gain模块：在模块参数设置对话框中2个增益模块的“Gain”参数分别设置为a和w积分（Integrator和Integrator1）模块：可以完成初值设定，采用对参数对话框中“Initial condition”的设置，在Integrator模块中设置x的初值为4，Ingegrator1模块中设置x的初值为4点乘（Product）模块：对话框的“Number of inputs”设置为2（表示有2个输入端）函数功能（Fcn）模块：对话框的。