多元视角下的幂和公式推导.pdf

2 0 1 3年 第 5 2卷 第 l 1 期 数 学通报 4 3 多元视角下的幂和公式推导 沈 金 兴 ( 浙 江 省 桐 乡市 风 呜 高 级 中 学 3 1 4 5 o o ) 1 引 言 自然数 幂 和是 指 ： 1 p +2 p +⋯ +7 z ( P为 正整 数 ) ， 在 高 中 数 学 里 ， 经 常 会 遇 到 的 是 P一 1 ， 2 ， 3 这 三种 情形 ． 以 人 教 ( 0 7年 ) 版 为 例 ， 一 次 幂 和是 在《 必修 5 》 的 2 ． 3节“ 等差数列的前 项 和” 这一 节 出现 ， 二 次幂 和是 在 2 ． 5节 “ 等 比数 列 的前 n项 和” 例 3的一个旁 注 中出现 ， 而 三次 幂和也是在 《 选修 2 —2 》 的 1 ． 5 ． 3节 的例 1旁 注 中出现． 当 然 ， 一 次幂 和 可 用 等 差 数 列 求 和公 式 求 得 ， 但 二 次 、 三次 幂 和 教 材上 只给 出 公式 ， 即便 是 在 《 选 修 2 —2 》 的 2 ． 3节 “ 数 学归 纳法 ” 中正式 进行 了证 明 ， 学 生 心 中仍 会 有 疑 惑 ： 这 些 公 式 到 底 是 怎 么得 来 的? 因为用 数 学 归 纳法 证 明 ， 实 际上 已 给 出 了公 式 ， 无 非要 证 明 成 立 而 已 ， 至 于 为 何 公 式 是 这 样 的 ， 教 材上 没 作 任 何 交 待 ， 因 而 学 生 会 感 到 不 自 然 ， 觉 得数 学有 些 知识 似乎 是从 天上 掉下 来 的． 因 此 有 必要 给 出它们 的推 导． 对于 幂和 公式 的推 导 ， 方法 很 多 ， 尤 其是 二 次 幂 和公 式 的推 导更 是方 法 繁多 ． 但纵 观这 些 方法 ， 大 多 数是 以代 数 方 法 为 主 [ 1 J ， 有 的甚 至 还 涉 及 高 等 数 学知识 ． 那 能 否不 单纯 用代 数方 法 ， 而用 其 它 中学 生能 理解 的 知识 来 推 导 呢?答 案 是 肯定 的． 事 实 上 ， 笔 者 已在课 堂上 作 过 尝试 ， 借鉴 “ 毕 达 哥 拉 斯 学派 ” 中的“ 形 数 理论 ” 来 推 导 一 次 与 二 次 幂 和公 式_ 2 ] ， 效 果 很好 ． 本 文仍 借鉴 或介 绍古 代 数 学 家 的方法 ， 从 物理 学和 几何 学 的多元 角 度来 推 导． 其 实 笔者 在高 一第 二学 期 的校本 选 修课 上 已进 行 了课 堂 实践 ， 学生 反应 不错 ． 下 面就 把这 些 方法 简 述一 下 ， 以求 抛砖 引玉 ． 2物理 学视 角 下的幂 和公 式 推导 古希 腊 大 数 学 家 阿 基 米 德 ( Ar c h i me d e s ， 前 2 8 7 ～2 1 2 ) ， 在人们只掌握初等数学的时代 ， 他却 解决 了初 等 数 学 无 能 为力 的许 许 多 多 难 题 ： 抛 物 线 弓形 的面 积 、 球 、 两 直 交 圆柱公 共 部 分 立 体 ( 牟 合方 盖 ) 等 的体积 ． 阿基 米 德 的想 法 为我们 今 天 的 数学 学 习提 供 了借 鉴 ： 一 个 数 学 结 果 有 时可 以借 助力 学 等原 理 和思 想 来 推 导 或 证 明． 下 面就 用 物 理 学 中的 力 学 知 识 来 推 导 一 次幂 和 与 两 次 幂 和 公 式． 物 理学储 备 知识 ： l _ 力 矩 一力 ×力臂 ； 2 ． 一个 质点系的力矩之和等于这个质点系的质量集中在 重 心位 置 的力矩 ． 2 ． 1一次 幂和公 式 推导 如 图 1 ， 建 立一 个 直 角坐 标 系 ， 在 正半 轴 标上 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ ， ． 在 点 1处放 上 1个 单位 质 量 的 质 点 ； 在点 2 处 放上 1 个 单位 质量 的质 点 ， 在点 3 处 放上 1个单位质量的质点 ， 这样一直放下去 ， 最后 在 点 处 放上 1 个 单位 质量 的质 点． 这 时 ， 质 点 系 关 于 Y轴 的力矩 是 ： l +2 +3 +⋯ + ． 0 1 2 3 一1“ 圈 1 而这 个质 点 系 的重 心 位 置 ， 即就 是 线 段 的 中 点， 为 ， 所 以此时质点 系的力矩是丛 ， 于是就有 1 +2 +3 +⋯+n --丛 ，得 出 了一 次幂 和公 式． 2 ． 2二 次幂 和公 式推 导 类似 于一 次幂 和 的推 导 方 法 ， 构 造 出关 于 二 次幂 和 的物理模 型 ． 如 图 2 ， 在 直角 坐标 系 中 ， 在 1 处放上 1个单位质量的质点 ； 在点 2的上下方放 4 4 数 学通报 2 0 1 3年 第 5 2卷 第 1 1期 上 2个单位 质量 的质 点 ， 它 们关 于 轴对 称 ， 距 离 为 1 ； 在 点 3处 及 其 上 下 方 放 上 3个 单 位 质 量 的 质点 ， 上 下两点 关 于 z轴 对称 ， 相邻 两个 质点 之 间 的距 离 为 l ， 这样 一直 放下 去 ， 最 后在 点 处及 其 上 下方放 上 ”个 单 位 质量 的质 点 ， 上 下 方 的质 点 两 两关 于 轴 对称 ， 且 相 邻 两 质点 之 间 的 距离 为 1 ． 这时 ， 质 点 系 关 于 轴 的 力 矩 就 是 ： 1 。

+ 2 + 3 + ⋯ + ． ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● D 2 了 - 1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 图 2 此 时 ， 三 角形 的重心 为正 三角形 的巾心 ， 而 三 顶 点坐标 分 别 是 ( 1 ， 0 ) ， ( ， h ) ， ( 7 “／ ， h ) ， 故 重 心 为f ， 0 1 ， 由 此得质点系的力矩为 、 J ， ( 1- -2H - 3- F⋯ + ) 一 ， O 于是得 出二 次幂 和公式 ： 1 z +2 z +3 z +⋯+ z 一 ± ． b 其 实 ， 物 理概 念和论 证 的运用 可 以“ 揭示 复 杂 数学结 构 的本 质 特征 ， 提供 可 以从 整体 上 把 握 的 证 明” ， 能够 “ 更 加 清 晰 地指 出一 个 定 理 与别 的数 学领域 或别 的 学科 之 间 的联 系” ， “ 对 于促 进 学 生 的数学 理解 具有很 大 的潜力 ” _ 3 j ． 而力学 方法 的引 入 ， 可 以让 我们 欣 赏 到 数学 的美 和 数 学思 维 的广 阔性 ， 体会 到不 同学科 之 间神奇 的联 系 ， 从 而体 验 到学 习 的快乐． 尤其 是 当一 个数 学定 理难 以理 解 ， 当大家在黑 暗中徘徊 的 时候 ， 物理模 型为我们提 供 了一扇窗口； 即使这个定理不难从数学上去理解， 物 理模 型又能拓宽学生的思维 ， 加深对定理 的理解． 3几何 视角 下的 幂和公 式 几 何法是 指 用几 何 方法 研 究 代 数 问 题 ， 始 创 于古希 腊人 ， 最 早也 可上 溯到毕 达哥 拉斯 学 派． 以 后 许多 数学 家用 几 何 方 法来 求 解 一元 二 次 方 程 ， 这 也包 括后 来 的 阿拉 伯数 学 家 ， 他 们 尤其 是对 自 然 数幂 和公式 有独 到研究 ． 公元 5 、 6世纪 ， 印 度数 学家 阿耶 波 多 ( Ar y a b h a t a ，4 7 6 ～ 5 5 0 ) 在 其 著 作 中就载 有二 次 、 三 次幂 和公式 ， 后来 的婆 罗摩 笈 多 ( B r a h ma g u p t a ， 5 9 8 ～ 6 7 0 ) 、 摩诃 毗 罗 ( Ma h a v i r a ， 9 世 纪 ) 和婆什 迦 罗 ( B h a s k a r a ， 1 1 1 4 ～ 1 1 8 5 ) 的 数 学 著 作 中 也 都 出 现 了 一 次 、 二 次 、 次 幂 和 公 式_ 3 J ． 下 面以三次 幂 和公 式 推导 为例． ( 1 ) 正方形 法 1 1 世纪 ， 阿拉伯数学家 阿尔卡克西 ( A 1 一 K a r k h i ， 9 5 3 ～1 0 2 9 ) 在 他 的 著作 中出 现 了 j = 三 次 幂 和 公 式 ： l 。

+ 2 s + 3 +⋯+ 一『 丛 ． ] ． 阿尔卡克两 L J 用 富有希 腊特 色 的几 何法 对 该 公 式作 出 了证 明． 构 造如 图 3 所 示 ， 设 AB是 正方 形 AC 之一 边 ， 使 B B1 一 ， B】 B2 一 一 1 ， B 2 B 3 一 一 2 ， ⋯ ， 因 此 有 AB=1 + 2 +3 +⋯ + 一 ． 在 AB1 ， AB 2 ， 厶 ⋯上 作 正 方 形 AC 1 ， AC 2 ， ⋯ ， 得 一 1个 矩 尺 形 BC D， B C D ， B C D ， ⋯．因 此 矩 尺 形 BC D 的面 积为 ： 图 3 三次幂和公式的正方形法推导 S B c D — BB1’BC+DD1C1 D1 一BB1·( BC- 4 - C1 D1 ) 2 O 1 3年 第 5 2卷 第 1 1 期 数 学通 报 4 5 一 · + ] = n ： ， 一 — 十 — l ： ， 同理 ， S B c 一( 一1 ) ， S B 一( n 一2 ) 等 等． 故 有： 1 3 + 2 s + 3 s + ⋯ + ， z 。

= 『 ] ． ( 2 ) 阶梯 法 阿尔卡 克 西 的几 何 证 明 极 富启 发 性 ， 另 一 位 阿 拉伯 数 学 家 阿 尔 ·海 森 ( A1 一 Ha i t h a m， 9 6 5 ～ 1 0 3 9 ) 也 给 出 了 一 个 类 似 的 证 明． 构 造 如 图 4 所示 ． 于是 三次 幂和公 式得 证 ． 4 结束 语 力 学 与几何 学 多元 视 角 下 的幂 和公 式 推 导 ， 要 用 到 的物理知 识 和平 面几何 知识 初 中生也 已掌 握和 易理解 ， 不需 要 高 中知 识 ， 可 以说 起 点 很 低． 虽然 自然 数幂 和 公 式 是 代 数公 式 ， 但 在 推 导 的时 候除 了代 数方 法 外 还 有 其 它 角度 下 的方 法 ， 特 别 是物 理学 视角 ． 数 学 教 学 中结 合 物理 上 的应 用 所 具有 的潜 力需 要 一 线 教 师 去挖 掘 和开 发 ， 毕 竟 他 山之石 ， 可以攻玉． 而用几何法去解决代数问题在 中学数 学教 学 中会 经 常用 到 ， 但 尘 封 在 中外 历 史 里的许多数学家的奇思妙想和深邃的数学思想却 用 得不 多． 经常 在 历 史 脉 络 中 比较 数 学 家所 提供 的不 同方法 ， 就会 拓 展我们 的视 野 ， 培养全 方 位 的 认知能力和思考弹性， 同时也能体会到数学 家们 对 问题 的火 热思 考 ， 自然也 会带 给学 生很 多启 示 ， 感受到数学的美与神奇 ! 图 4 = 次 幂 丰 口 公 式 的 阶 梯 法 推 导 参 考 支 献 阶梯形 面积 为 ： S—I ×1 +2 ×2 。

+ ⋯ + × 1 周金国．一道课本例题的解法探究[ J ] ． 中学数学教学参考 ( 上 = ： = 1 + 2 + ⋯ 十 ， 而 直 角 三 角 形 的 面 积 有 ： 旬) ， 2 0 0 8 ， 5 ： 2 8 ～2 9 s一 × ( 十 1) × n × (1 + 2+⋯ + ) 一 沈 金。