2015年高考真题——数学理（湖南卷）解析版.doc
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.2015年湖南理 1.已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.【答案】D.2015年湖南理2.设A,B是两个集合，则””是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.考点：集合的关系.2015年湖南理3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )A. B. C. D.【答案】B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.2015年湖南理4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，的最小值是，故选A.考点：线性规划.2015年湖南理5.设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A.考点：函数的性质.2015年湖南理6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.考点：二项式定理.2015年湖南理7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【答案】C.【解析】试题分析：根据正态分布的性质，，故选C.考点：正态分布.2015年湖南理8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.考点：1.圆的性质；2.平面向量数量积.2015年湖南理 9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.2015年湖南理10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.2015年湖南理11. .【答案】.【解析】试题分析：.考点：定积分的计算.2015年湖南理12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .【答案】.【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人.考点：1.系统抽样；2.茎叶图.2015年湖南理13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .【答案】.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，∴.考点：双曲线的标准方程及其性质.2015年湖南理14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .【答案】.【解析】试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴.考点：等差数列与等比数列的性质.2015年湖南理15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）；（2）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据垂径定理可得OME=， ENO=，再由四边形的内角和即可得证；（2）由（1）中的结论可得O,M,E,N四点共圆，再由割线定理即得试题解析：（1）如图a所示， 因为M，N分别是弦AB,CD的中点，所以OMAB,ONCD,即OME=， ENO=，OME+ENO =，又四边形的内角和等于，故MEN+NOM=；（2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得考点：1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.【答案】（1）；（2）.考点：1.极坐标与直角坐标的互相转化；2.直线与圆的位置关系.（Ⅲ）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，假设假设与同时成立，可求得，，从而与矛盾，即可得证试题解析：由，，，得，（1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能成立.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角》(1)证明：（2）求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）（，].【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为inB=sin（+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.试题解析：（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）.又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=；（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，因为0
