第四节 导数与函数的综合问题A组 基础题组1.(2017北京西城一模,18)已知函数f(x)=ex-x2.设直线l为曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线,其中x0∈[-1,1].(1)求直线l的方程(用x0表示);(2)设O为原点,直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求△AOB的面积的最小值.解析 (1)对f(x)求导,得f '(x)=ex-x,所以直线l的斜率为f '(x0)=ex0-x0,由此得直线l的方程为y-ex0-12x02=(ex0-x0)(x-x0),即y=(ex0-x0)x+(1-x0)ex0+12x02.(2)依题意B(1,0),设A(1,y1),在切线方程中令x=1,得y1=(ex0-x0)+(1-x0)ex0+12x02=(2-x0)ex0-12x0.所以S△AOB=|OB|·|y1|=12(2-x0)ex0-12x0=1-12x0ex0-12x0,x0∈[-1,1].设g(x)=1-12xex-12x,x∈[-1,1],则g'(x)=-12ex-12x+1-12xex-12=- (x-1)(ex-1).令g'(x)=0,得x=0或x=1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1g'(x)-0+g(x)321e+12↘1↗12e-12[来源:Z§xx§k.Com]所以g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=1,从而△AOB的面积的最小值为1.思路分析 (1)利用导数的几何意义求切线方程;(2)结合点A,B的坐标,用x0表示三角形AOB的面积,构造函数,利用导数求△AOB面积的最小值.方法点拨 利用题目中的条件构造函数,再利用导数研究函数的单调性和最值.2.(2018北京东城二模,19)已知函数f(x)=xsin x+cos x+ax2,x∈[-π,π].(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)当a>0时,讨论f(x)的零点个数.解析 (1)当a=0时, f(x)=xsin x+cos x,x∈[-π,π],f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.当x在区间[-π,π]上变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x-π-π,-π2-π2-π2,000,π2π2π2,ππf '(x)+0-0+0-f(x)-1↗极大值π2↘极小值1↗极大值π2↘-1所以f(x)的单调增区间为-π,-π2,0,π2; f(x)的单调减区间为-π2,0,π2,π.(2)任取x∈[-π,π].因为f(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+ a(-x)2=xsin x+cos x+ax2=f(x),所以f(x)是偶函数.f '(x)=ax+xcos x=x(a+cos x).当a≥1时,a+cos x≥0在[0,π]上恒成立,所以x∈[0,π]时, f '(x)≥0.所以f(x)在[0,π]上单调递增.又因为f(0)=1,所以f(x)在[0,π]上无零点.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在[-π,π]上无零点.当00, f(x)单调递增;当x∈(x0,π)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.因为f(0)=1, f(x0)>1, f(π)= aπ2-1,所以①当aπ2-1>0,即2π22π2时, f(x)无零点.3.(2018北京朝阳一模,18)已知函数f(x)=lnx-1x-ax.(1)当a=2时,(i)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(ii)求函数f(x)的单调区间;(2)若10,且-ln x>0,则f '(x)>0;在区间(1,+∞)上,2-2x2<0,且-ln x<0,则f '(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:由x>0, f(x)<-1,知lnx-1x-ax<-1,等价于ax2-x+1-ln x>0.设h(x)=ax2-x+1-ln x,只需证h(x)>0成立.h'(x)=2ax-1-=2ax2-x-1x,10,则h(x)的最小值为h(x0)=ax02-x0+1-ln x0=1+x02-x0+1-ln x0=3-x02-ln x0.又h'(1)=2a-2>0,h'12=a-3<0,所以0,-ln x0>0.因此3-x02-ln x0>0,即h(x0)>0,所以h(x)>0,所以f(x)<-1.4.(2017北京朝阳二模,19)已知函数f(x)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)相切于点(1,c),求a,b,c的值;(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.解析 (1)由题意可得F(x)=ex-2x-b,则F'(x)=ex-2,令F'(x)>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增;令F'(x)<0,得x0,所以h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,a.若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;b.若a+1<0,取x0<0且x0<1-ba+1,此时h(x0)=ex0-(a+1)x0-b<1-(a+1)1-ba+1-b=0,所以h(x)≥0不恒成立,不满足条件.②当a+1>0时,令h'(x)>0,得x>ln(a+1);令h'(x)<0,得x0,则G'(x)=1-ln x,令G'(x)>0,得0e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,当x=e时,G(x)max=e-1,从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.综上,a+b的最大值为e-1.方法点拨 在解决不等式恒成立问题时,可以把问题等价转化,通过构造函数来研究函数的最值问题,当最值中仍含有参数时,可以再次构造函数,利用二次求导来处理.B组 提升题组5.(2018北京西城一模,20)已知函数f(x)=ex·(a+ln x),其中a∈R.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-垂直,求a的值;(2)记f(x)的导函数为g(x).当a∈(0,ln 2)时,证明:g(x)存在极小值点x0,且f(x0)<0.解析 (1)f '(x)=ex(a+ln x)+ex·=exa+1x+lnx.依题意,有 f '(1)=e·(a+1)=e,解得a=0.(2)证明:由题意及(1)得g(x)=ex·a+1x+lnx,所以g'(x)=ex·a+1x+lnx+ex·1x-1x2=ex·a+2x-1x2+lnx.设h(x)=a+-1x2+ln x,因为ex>0,所以g'(x)与h(x)同号.h'(x)=x2-2x+2x3=(x-1)2+1x3.所以对任意x∈(0,+∞),有h'(x)>0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增.因为a∈(0,ln 2),所以h(1)=a+1>0,h12=a+ln <0,故存在x0∈12,1,使得h(x0)=0.g(x)与g'(x)在区间12,1上的情况如下:x12,x0x0(x0,1)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在区间12,x0上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.所以当a∈(0,ln 2)时,存在x0∈12,1,使得x0是g(x)的极小值点.由h(x0)=0,得a+ln x0=1-2x0x02,所以f(x0)=ex0·(a+ln x0)=ex0·1-2x0x02<0.6.(2018北京石景山一模,20)设函数f(x)=ln x+mx,m∈R.(1)当m=e时,求函数f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;(3)若对任意的b>a>0,f(b)-f(a)b-a<1恒成立,求实数m的取值范围.解析 (1)当m=e时, f(x)=ln x+,对f(x)求导得f '(x)=x-ex2(x>0),所以当x∈(0,e)时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减;当x∈(e,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,所以当x=e时, f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2.(2)g(x)=f '(x)- =-mx2-x3(x>0), 令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=- x3+x(x>0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).所以当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.所以φ(x)的最大值为φ(1)=- +1=.又φ(0)=0,所以①当m>时,函数g(x)没有零点;②当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一。
