“图象法求一元二次方程近似根”的教学思考.doc

图象法求一元二次方程近似根”的教学思考杨军在进行《二次函数与一元二次方程》第2课时教学时，对于用图象法求求方程近似根问题，学生在课堂提出了疑问，展开了精彩的讨论，最后得到了满意的答复下面本人谈谈对本节内容的几点课后教学思考一、呈现题例教科书P73引题：你能利用二次函数图象估计一元二次方程的根吗?先来看本节课教学目标：1.经历探索二次函数图象（形）与一元二次方程（数）的关系；2.理解一元二次方程的根就是对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标并能用估算法求方程的近似根其实对于这一问题，学生在八年级学习求无理数近似值，九年级（上）在学习一元二次方程第2课时求方程近似根都涉及到了这一问题而本节内容其实又涉及到了另外一种数学解题思想-“数形结合”实际上它们从本质上来说是相同的：用逼近法（或二分法）求方程的近似根二、解题过程分析针对上述题目，先画出一元二次方程对应的二次函数，由图象知：方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间先求在-5和-4之间的根：借助计算器进行探索：表1因为教科书对求近似根有脚注：用图象法求一元二次方程近似根时，结果只取到十分位因此是方程的一个近似根三、学生生疑探讨这时候有学生W举手提出了她的疑问：“老师，脚注要求结果取到十分位，也就是四舍五入到十分位，这样的话应该是要求出百分位的数才能得到结果。

假设进一步计算若结果为-4.36或-4.34，这样的话四舍五入到十分位结果就应该是-4.4或-4.3而现在课本中只算到十分位就结束了，问题出在哪里了此时所有的同学都觉着位同学言之有理怎么办呢？难道我们在-4.4到-4.3以0.01为单位间隔取值再进行一次列表计算这样也太麻烦了，但数学学习要求我们有耐心，有恒心所以我和学生开始了计算,为减少运算负担，我让学生分组计算很快得到了以下结果表2显然在上表中我们可以得到方程的根在-4.32到-4.31之间，所以方程的一个近似根为这时W同学满意的点了点头，其他同学也“柳暗花明”了四、追本溯源思考虽然此题通过同学W提出疑问、师生共同解答得到了学生满意结果，但实在是计算繁琐、时间浪费严重这时我又启发询问学生：“为什么课本没有进行我们的探讨过程，而是由表1直接得到了答案？”学生们陷入了思考，经过几分钟讨论，学生T站起来回答道：“老师，我们观察表1可以发现当x=-4.4时y值是0.56；当x=-4.3时y值-0.11这两个值中-0.11更接近0，所以得到课本中的结果这时我接过T同学问到全班同学：“通过以上我们的学习，你能用自己的语言描述怎么用图象法对应方程的近似根？”同学们踊跃的举起了手，其中一个同学抢答道：“1.先从图象上确定出根的大致范围；2.将确定出的范围以某一单位（如0.1）为间隔取值，分别计算出各值对应下的函数值y；3.观察计算表格，当相邻的y值出现异号时，取接近于0的y值所对应的x值即为所求的近似根。

这位同学回答的非常详细至此全班同学对这一问题都有了透彻的理解五、课后反思总结从古至今，中外许国数学家对方程求解都进行了很多研究9世纪，阿拉伯数学家华拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法；11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细节》中提出了“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次以上的高次方程1824年，挪威年轻数学家阿贝尔成功的证明了五次以上一般方程没有根式解1828年法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁的证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理而目前初中阶段，读者学习的最高次方程-一元二次方程，它有专门的求根公式用求根公式可以求出方程的精确解，但为什么课本还要安排一节内容让学生们学习求近似解的方法呢？这主要是在初中阶段给学习者渗透用二分法（逼近法）求方程近似解的思想，以便为今后深造奠定基础比如普通高中实验教科书数学必修1第89页内容《用二分法求方程的近似解》开头出示了引题：求函数在区间（2，3）内有零点，进一步问题是，如何找出这个零点实际上这道题目就是要求读者在区间（2，3）求方程的近似解之后用到的方法就是“二分法”其次高等学校教材《数学分析》（上册）第232页第6节内容《方程的近似解》进一步用导数的知识-“切线法”解决了方程根第一、第二近似值。

虽然一元二次方程有求根公式可以求出它的精确解，但是诸如以上方程，还有指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次方程没有求根公式，甚至用一般的方法无法求解，这时候就可以用图象近似法（二分法）、牛顿法、拟牛顿法、弦截法来解决这一类问题这些方法都渗透了逼近的数学思想参考文献[1] 马复，史炳星九年级数学 下册 2007年5月第4版北京:北京师范大学出版社，73[2] 刘绍学，钱珮玲普通高中课程标准实验教科书 数学1 必修（A版）2007年1月第三版北京:人民教育出版社，91[3] 刘绍学，钱珮玲普通高中课程标准实验教科书 数学1 必修（A版）2007年1月第三版北京:人民教育出版社，89[4] 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中高等学校教材 数学分析（第二版）上册1978年5月第1版北京:高等教育出版社，232。